Analisi matematica di base
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Stabilire se
[tex]e^{-\frac{1}{x^2}}[/tex]
E' prolungabile per continuità in R e in caso affermativo scrivere il suo prolungamento.
Ora mi sembra che il dominio sia:
[tex]]-\infty,00,+\infty[[/tex]
Mi basterebbe vedere se è continua nel dominio per dire che non è prolungabile?
Credo che sia continua in tutto il dominio, il problema potrebbe nascere quando x=0.
I limiti laterali sono uguali, e valgono 0.
Ora come faccio a capire se il limite coincide con il valore che ...
Salve a tutti sono un nuovo utente del forum inizio con il congratularmi per lo stesso che già mi è stato d'aiuto prima che mi iscrivessi! Detto questo vorrei proporre un esercizio sulle serie di funzioni su cui ho qualche problema mentre la soluzione mi manca. L'esercizio è il seguente:
Si determini l'insieme di convergenza e si studi la convergenza uniforme della seguente serie di funzioni:
$ sum_(n = 1)^(n = +oo )e^{nx} // sqrt(n+5)+n $
per la prima parte credo di aver agito bene: ho fatto variare x in e ho ...
dala la seguente funzione $f(x,y)=(xy+x+y+x^2+2y^2)*e^[-(xy+x+y+x^2+2y^2)^2]$ calcolare gli eventuali estremi relativi e gli estremi assoluti della funzione.
chiaramente è una funzione composta. Infatti $f(x,y)=phi(g(x,y))$ Allora scriviamo la $phi(t)=t^2e^-(t^2)$ e la $g(x,y)=xy+x+y+x^2+2y^2$
adesso si studi la monotonia della $phi(t)$ e si vede che è monotona crescente per $t<-1$ e $0<t<1$. la regola dice che se $phi(t)$ è crescente il punto $(x_0,y_0)$ calcolato dalla $g(x,y)$ è ...
Mi chiedevo intanto se avessi una funzione come:
[tex]\frac{1}{|x|}[/tex]
Il dominio è dato da R privato dello zero.
Come ben sapete la funzione assume due leggi in base al valore assoluto, e la mia domanda è:
Comunemente si distingue [tex]x\geq 0[/tex] e [tex]x0[/tex] cioè senza uguaglianza? e poi normalmente [tex]x
Salve a tutti! stavo risolvendo il seguente esercizio e mi sono bloccato alla fine:
Determinare tutti i numeri complessi che soddisfano l'equazione $z^2 bar(z)^4=-8i$
il procedimento che seguo è questo:
$-8i=z^2\overline z^4=z^2\overline z^2\overline z^2=(z\overline z)^2\overline z^2=(x^2+y^2)^2(x-iy)^2=[(x^2+y^2)(x-iy)]^2 =sqrt{-8i}=(x^2+y^2)(x-iy)$
$sqrt(-8i)=(x^2+y^2)(x-iy)^2 -> sqrt(-8i)=x^3-xy^2-ix^2y+xy^2->sqrt(-8i)=x^3-ix^2y$
a questo punto ho un problema di calcolo ed uno logico:
- per il calcolo ho pensato di risolvere la radice così $sqrt(-8i) -> sqrt(-2^3 i) -> -2sqrt(i)$ ma non so se è lecito e comunque non riesco lo stesso a continuare
- il problema logico è che non ho a fuoco ...
A dire la verità sarebbero 2 le domande
Se avessi una funzione del tipo [tex]\frac{1}{|x|}[/tex] Sarebbe definita pr ogni x diverso da 0.
Essendoci il valore assoluto si devono distinguere i casi in cui:
[tex]x\geq 0[/tex] e [tex]x
All'esame c'era questo integrale con al posto delle x la t...penso sia la stessa cosa per il calcolo vero?
$ int_(1)^(2) (e^t(e^t-1))/(e^(2t)-1) dt $
risolvo:
$e^t=u$,$t=log u$,$dt=1/udu$
$ int_(1)^(2) (u(u-1))/(u^2-1) 1/u du $
$ int_(1)^(2) (u-1)/((u-1)(u+1)) du $
$ [ln|u+1|] $ con estremi di integrazione 1 e 2
a questo punto se ho effettuato bene il resto non so come sostituire gli estremi di integrazione...
Mi dite se ho svolto bene l'esercizio?
$f(x,y)=x^3-y^3+xy$ ho determinato i punti critici:$(0,0)$ e $(1/3,-1/3)$
A questo punto non ho voluto usare la matrice hessiana per studiare la natura dei punti,ma li ho studiati tramite gli intorni e le relative restrizioni della funzione.
Studio punto $(0,0)$:
$f(x,0)=x^3$
preso un intorno del punto zero = $1/2$ se $0<x<1/2$ la funzione è positiva; se $-1/2<x<0$ la funzione è ...
Vorrei la conferma sul procedimento. L'esercizio mi chiede di calcolarmi l'uguaglianza
$ sum_(k = 1)^(n) k^2/(4k^2-1)=(n(n+1))/(2(2n+1)) $
prima di tutto mi sono calcolato se è vera per n=1, cioè:
$ 1^2/(4-1) = (1(1+1))/(2(2+1)) rarr 1/3 = 1/3 $
e risulta verificata. Quindi provo se è anche vera per (n+1):
$ sum_(k = 1)^(n+1) k^2/(4k^2-1) = sum_(k = 1)^(n) k^2/(4k^2-1) + (n+1)^2/(4(n+1)-1) = (n(n+1))/(2(2n+1)) + (n+1)^2/(4(n+1)^2-1) = (n^2+n)/(4n+2) + (n^2+2n+1)/(4n^2+8n+3) = (n^2+3n+2)/(2(2n+3)) = ((n+1)(n+2))/(2(2n+3)) $
l'esercizio dovrebbe finire qui da come ho visto su esercizi simili su internet, ma non capisco come faccio a stabilire se è verificata anche per (n+1)?
Discutere il carattere della seguente serie al variare del parametro reale $a$.
$ sum_(n=2)^(+infty) (a^n (2n)!)/((n!)^2) $
La mia domanda è: posso applicare direttamente la formula di Stirling e studiare il carattere della seguente serie?
$ sum_(n=2)^(+infty) (a^n ((2n)/e)^(2n) sqrt(2 \pi (2n)))/(((n/e)^n sqrt(2 \pi n))^2) $
Grazie
Salve ho alcune difficoltà sulla serie di potenze:
$\sum_{n=1}^(+infty) (-1)^n/(n(2)^n)* x^(n-1)$
c'è quel $(-1)^n$ che mi "blocca"....
il raggio di convergenza lo posso calcolare lo stesso ??
datemi qualche dritta ...
grazie...
La mia professoressa ha spiegato a lezione il legame che vi è tra i G-integrali(integrali in senso generalizzato) e le serie,esso dice che:
Assegnata una funzione
$f:[0,+oo[->RR$
$f$ continua e monotona non negativa,non crescente,allora
$sum_(n=0)^(+oo) f(n) $ e $(int_0^n f(x) dx)_(n in |N)$ hanno lo stesso comportamento.
Inoltre
$lim_(n->+oo) int_0^n f(x) dx<=sum_(n=0)^(+oo) f(n)=lim_(n->+oo) S_n=lim_(n->+oo) sum_(k=0)^n f(k)<=f(0)+lim_(n->+oo) int_0^n f(x) dx$
la dimostrazione fa una serie di ragionamenti che non ho capito...come faccio a dimostrare quanto sopra detto?
$int int_D [(2x)/(2+x^2 +y^2)]dx dy$
dove D è la parte del primo quadrante delimitata dalle curve di equazione
$x^2 +y^2 -2y=0 ; x^2 +y^2 -4y=0 ; y=x ; x=0$
ne ho fatti di integrali...ma questo non so che cambiamento di variabili devo fare se polari non so come; è una traccia di esame.
qualche idea?
Salve ragazzi.
Ho questa funzione $ f(x)=log[sqrt(x^2+3x+2)-(x+1)] $ della quale debbo calcolarmi il dominio ed il codominio.
Ponendo a sistema
$\{(x^2 + 3x + 2 >= 0),(sqrt(x^2 + 3x + 2) - (x + 1) >0):}$
mi sono trovato che il dominio dovrebbe essere $ ]-infty,-2]uu[-2,-1[uu]-1,+infty[ $ . A questo punto svolgo i limiti nei punti che ho trovato per ricavarmi il codomino, giusto?
Il problema mi sorge per il $ lim_(x -> - infty) f(x) $.
Svolgendolo come $lim_(x -> -infty) log[(sqrt(1+3/x+2/x^2)-(1+1/x))/(1/x)]$ e applicando poi De L'Hopital ottengo $lim_(x -> -infty) log[ ((3x+4)segno(x))/(2sqrt(x^2+3x+2))-1] $ che alla fine con opportuni passaggi ho ...
Cosa dice realmente questo teorema?
1)Un sottoinsieme X di R^k è compatto se e solo se da ogni successione di elementi di X si può estrarre una successione convergente il cui limite è in X (quindi sequenzialmente compatto).
2)Ogni compatto è chiuso e limitato.
3)...quella coi riprimenti....
Oppure tutte e tre sono equivalenti?
Salve, ho un problema con la risoluzione dell'esercizio, sono arrivato in un punto cieco
esercizio: stabilire se esistono valori di $a in RR$ per i quali la funzione è continua, in caso affermativo determinarli.
$ { ( arctan (1/(1+cosx)) per x!=(2n+1)pi ),( a per x=(2n+1)pi ):} $ $n in ZZ$
ho iniziato imponendo la condizione di continuità: $lim_(x->=(2n+1)pi) arctan (1/(1+cosx)) =lim_(x->=(2n+1)pi) a$
quindi in pratica a = lim (arctan...
ma non riesco a continuare arrivato qua: $lim_(x->=(2n+1)pi) arctan (1/(1+cos[(2n+1)pi]) )= lim_(x->=(2n+1)pi) arctan ...
Buonasera, volevo chiedere aiuto per risolvere, in maniera generale, due tipologie di esercizi;
data una funzione a 2 variabili x e y, verificare che tale funzione sia continua o differenziabile nel suo insieme di definizione.
Finquando si tratta di un singolo punto, non ho alcuna difficoltà.
Quando però mi si richiedere di verificare in un intervallo, non so come procedere, specie per la differenziabilità.
Esempio:
data una f(x,y)=$|x|*log(1+y)$, trovare l'insieme di definzione e ...
Riguardo integrali doppi e tripli... li so risolvere, nn ho problemi, ma cosa trovo? Con l'integrale doppio trovo il volume sotteso da una superficie nello spazio e con il triplo i volume di un solido?
[tex]\sqrt[4]{x^4+2x^3}-x[/tex]
Ora mi chiedevo, per le radici, il problema che l'argomento debba essere maggiore o uguale a 0 lo ho solo per quella quadrata?
Se ho una radice cubica o di 4 grado come in questo caso il dominio non dovrebbe essere tutto R?
Con la calcolatrice...mi sembra a termini positivi...
[tex]\sum \frac{1}{n-\sqrt{n^2+2n}}[/tex]
Mi verrebbe da fare un confronto con la serie armonica, ma forse sbaglio.
Con il corollario al criterio del rapporto non trovo nulla..
EDIT: Ho pensato:
[tex]n-\sqrt{n^2+2n}0.
Quindi ...
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