Integrale doppio con dominio strano
$int int_D [(2x)/(2+x^2 +y^2)]dx dy$
dove D è la parte del primo quadrante delimitata dalle curve di equazione
$x^2 +y^2 -2y=0 ; x^2 +y^2 -4y=0 ; y=x ; x=0$
ne ho fatti di integrali...ma questo non so che cambiamento di variabili devo fare se polari non so come; è una traccia di esame.
qualche idea?
dove D è la parte del primo quadrante delimitata dalle curve di equazione
$x^2 +y^2 -2y=0 ; x^2 +y^2 -4y=0 ; y=x ; x=0$
ne ho fatti di integrali...ma questo non so che cambiamento di variabili devo fare se polari non so come; è una traccia di esame.
qualche idea?
Risposte
mmh faccio un pò fatica a capire quale sia D graficamente, cioè si tratta dell' intersezione tra un cerchio di raggio 1 centrato in (0.1), un cerchio di centro 0,2 e raggio 2, e la bisettrice del primo quadrante. Ma dai miei disegni non riesco bene a vedere il dominio.. Per caso riusciresti a postare un' immagine ?
ah ok ora ci sono..
Allora, prima trovi $x_1$ che è l' intersezione tra la bisettrice ed il primo cerchio, ed imposti l' integrale come: $0 < x < x_1$, e y limitata inferiormanete e superiormente dai 2 cerchi.
Poi ti trovi intersezione $x_2$ tra la retta ed il secondo cerchio. Ottieni $x_1 < x < x_2$, e Y limitata sup. dalla retta, e inf. dalla seconda circonferenza..
Allora, prima trovi $x_1$ che è l' intersezione tra la bisettrice ed il primo cerchio, ed imposti l' integrale come: $0 < x < x_1$, e y limitata inferiormanete e superiormente dai 2 cerchi.
Poi ti trovi intersezione $x_2$ tra la retta ed il secondo cerchio. Ottieni $x_1 < x < x_2$, e Y limitata sup. dalla retta, e inf. dalla seconda circonferenza..
Dev'essere la parte compresa fra le due circonferenze che sta sopra la bisettrice del primo quadrante e l'asse y. Il problema è che non sembrano esserci sostituzioni "buone" (almeno io non ne ho trovate). Ho provato un po' a farlo senza sostituzioni, spezzando il dominio e integrando prima in $dx$ però i conti non mi sembrano troppo facili. Proverò ancora appena ho un po' più tempo magari.
ma si può fare l'integrale della circonferenza esterna meno l'integrale della circonferenza interna??? e theta sempre tra 45 e 90 gradi?
Ci avevo pensato e penso che la risposta sia: no. O meglio, sì ma complica ancora di più le cose; dovresti fare l'integrale della circonferenza esterna meno l'integrale di quella interna meno la parte tra le due circonferenze che è sotto la bisettrice...non credo sia conveniente
infatti viene proprio brutto....pensa se ti esce in un compito...comunque mi sembra di aver capito come fare ora provo poi ti faccio sapere
Gauss-Green?
Mi dispiace, non riesco a concludere nulla purtroppo
"Ale_":
Ci avevo pensato e penso che la risposta sia: no. O meglio, sì ma complica ancora di più le cose; dovresti fare l'integrale della circonferenza esterna meno l'integrale di quella interna meno la parte tra le due circonferenze che è sotto la bisettrice...non credo sia conveniente
in effetti non semplifica niente, anche se l'idea inizialmente pareva buona anche a me. fatto sta che è il metodo che ho seguito.
comunque mi pare che esca (o almeno io sono riuscito a integrare, impazzendo un po'). ho usato le coordinate polari centrate nell'origine, poi ho fatto la sostituzione $\sin(\theta) = t$. a quel punto mi pare si sia semplificato abbastanza, prova
ho ricordato un modo semplice per descrivere il dominio con le coordinate polari, ma sono fuori allenamento e dunque non sono affatto certa che porti ad una soluzione semplice. se chiami $phi$ l'angolo che la generica semiretta partente dall'origine forma con il semiasse positivo delle ordinate, allora $phi in [0, pi/4]$ e $rho in [2 cos phi, 4 cos phi]$.
spero che l'informazione possa esserti utile. ciao.
spero che l'informazione possa esserti utile. ciao.
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