Stabilire se la funzion è continua
Salve, ho un problema con la risoluzione dell'esercizio, sono arrivato in un punto cieco 
esercizio: stabilire se esistono valori di $a in RR$ per i quali la funzione è continua, in caso affermativo determinarli.
$ { ( arctan (1/(1+cosx)) per x!=(2n+1)pi ),( a per x=(2n+1)pi ):} $ $n in ZZ$
ho iniziato imponendo la condizione di continuità: $lim_(x->=(2n+1)pi) arctan (1/(1+cosx)) =lim_(x->=(2n+1)pi) a$
quindi in pratica a = lim (arctan...
ma non riesco a continuare arrivato qua: $lim_(x->=(2n+1)pi) arctan (1/(1+cos[(2n+1)pi]) )= lim_(x->=(2n+1)pi) arctan (1/(1+cos(2n pi+pi)))
ho provato limiti notevoli, trasformazioni goniometriche, semplificazioni...ma non riesco a fare niente](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
vi prego ho bisogno di qualche suggerimento,
Grazie per qualsiasi risposta!
esercizio: stabilire se esistono valori di $a in RR$ per i quali la funzione è continua, in caso affermativo determinarli.
$ { ( arctan (1/(1+cosx)) per x!=(2n+1)pi ),( a per x=(2n+1)pi ):} $ $n in ZZ$
ho iniziato imponendo la condizione di continuità: $lim_(x->=(2n+1)pi) arctan (1/(1+cosx)) =lim_(x->=(2n+1)pi) a$
quindi in pratica a = lim (arctan...
ma non riesco a continuare arrivato qua: $lim_(x->=(2n+1)pi) arctan (1/(1+cos[(2n+1)pi]) )= lim_(x->=(2n+1)pi) arctan (1/(1+cos(2n pi+pi)))
ho provato limiti notevoli, trasformazioni goniometriche, semplificazioni...ma non riesco a fare niente
vi prego ho bisogno di qualche suggerimento,
Grazie per qualsiasi risposta!
Risposte
Beh ti sei già trovato a quanto tende il limite. Ora ti bastano un paio di considerazioni.
Il periodo del coseno è $2\pi$, quindi $cos(2n\pi + \pi) = cos(\pi) = -1$.
Ecco, ora il fatto è che allora l'argomento dell'atan non è definito, cosa ovvia data la definizione della tua funzione. In poche parole hai un limite come
$ a = lim_{y->0} atan(1/y) $ e mi sa che tale limite non esiste.
Prendi questo mio messaggio come uno spunto, non sono molto sicuro di quello che ho scritto ma penso che ti potrà tornare utile comunque.
Il periodo del coseno è $2\pi$, quindi $cos(2n\pi + \pi) = cos(\pi) = -1$.
Ecco, ora il fatto è che allora l'argomento dell'atan non è definito, cosa ovvia data la definizione della tua funzione. In poche parole hai un limite come
$ a = lim_{y->0} atan(1/y) $ e mi sa che tale limite non esiste.
Prendi questo mio messaggio come uno spunto, non sono molto sicuro di quello che ho scritto ma penso che ti potrà tornare utile comunque.
Errata corrige: Sviluppando il denominatore iniziale, il tuo limite dovrebbe comportarsi come:
$lim_{y->0} atan( 2/y^2 )$ e stavolta questo limite esiste. Dunque $a$ tecnicamente potrebbe assumere i valori $+-1$.
$lim_{y->0} atan( 2/y^2 )$ e stavolta questo limite esiste. Dunque $a$ tecnicamente potrebbe assumere i valori $+-1$.
Grazie infinite!! 
ci ragiono un pò su e vedo cosa riesco a fare...
ci ragiono un pò su e vedo cosa riesco a fare...
ci ho riflettuto un pò, nel libro non c'è nulla del genere ed ho qualche problema:
scusami ma non capisco il passaggio che fai, come togli $n$?
ho provato in diversi modi ma non riesco ad arrivare a questo risultato vedo che hai cambiato la variabile, ma non mi riesce
per favore potresti chiarire un pò il passaggio che usi. Grazie
"pater46":
Il periodo del coseno è $2\pi$, quindi $cos(2n\pi + \pi) = cos(\pi) = -1$
scusami ma non capisco il passaggio che fai, come togli $n$?
"pater46":
Errata corrige: Sviluppando il denominatore iniziale, il tuo limite dovrebbe comportarsi come:
$lim_{y->0} atan( 2/y^2 )$ e stavolta questo limite esiste. Dunque $a$ tecnicamente potrebbe assumere i valori $+-1$.
ho provato in diversi modi ma non riesco ad arrivare a questo risultato
vedo che hai cambiato la variabile, ma non mi riesceper favore potresti chiarire un pò il passaggio che usi. Grazie
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