Funzione prolungabile per continuità
Stabilire se
[tex]e^{-\frac{1}{x^2}}[/tex]
E' prolungabile per continuità in R e in caso affermativo scrivere il suo prolungamento.
Ora mi sembra che il dominio sia:
[tex]]-\infty,00,+\infty[[/tex]
Mi basterebbe vedere se è continua nel dominio per dire che non è prolungabile?
Credo che sia continua in tutto il dominio, il problema potrebbe nascere quando x=0.
I limiti laterali sono uguali, e valgono 0.
Ora come faccio a capire se il limite coincide con il valore che la funzione assume nel punto dato che non è definita lì?
Sembrerebbe che proprio perchè non è definità è discontiua ha un punto di discontinuità eliminabile...
[tex]e^{-\frac{1}{x^2}}[/tex]
E' prolungabile per continuità in R e in caso affermativo scrivere il suo prolungamento.
Ora mi sembra che il dominio sia:
[tex]]-\infty,00,+\infty[[/tex]
Mi basterebbe vedere se è continua nel dominio per dire che non è prolungabile?
Credo che sia continua in tutto il dominio, il problema potrebbe nascere quando x=0.
I limiti laterali sono uguali, e valgono 0.
Ora come faccio a capire se il limite coincide con il valore che la funzione assume nel punto dato che non è definita lì?
Sembrerebbe che proprio perchè non è definità è discontiua ha un punto di discontinuità eliminabile...
Risposte
L'unico punto in cui la funzione non è definita è $ x=0 $ ; però $lim_( xrarr 0^(+) ) e^(-1/x^2) = lim_( x rarr 0^(-)) e^(-1/x^2) =0 $.
Quindi posso definire una nuova funzione data da :
$ e^(-1/x^2) $ per$ x ne 0 $
$ 0 $ per $ x=0 $
che è il prolungamento per continuità della funzione iniziale.
Quindi posso definire una nuova funzione data da :
$ e^(-1/x^2) $ per$ x ne 0 $
$ 0 $ per $ x=0 $
che è il prolungamento per continuità della funzione iniziale.
Darèios, leggi con attenzione.
Il problema ti sta chiedendo se la funzione è prolungabile per continuità, cioè se esiste una funzione [tex]$f^*(x)$[/tex] definita in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex], ivi continua, e tale che [tex]$f^*(x)=f(x)$[/tex] per [tex]$x$[/tex] nel dominio di [tex]$f$[/tex].
Quindi non c'entra nulla il fatto che [tex]$f$[/tex] non sia definita in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] (altrimenti a cosa servirebbe prolungarla?).
Inoltre, la funzione continua [tex]$f^*$[/tex] la devi costruire tu a partire da [tex]$f$[/tex]; come fai? Beh, è facile: nei punti in cui [tex]$f$[/tex] è continua si pone [tex]$f^*(x)=f(x)$[/tex]; mentre nei punti [tex]$x_0$[/tex] in cui [tex]$f$[/tex] non è definita si calcolano:
[tex]$\lim_{x\to x_0^-} f(x)$[/tex] e [tex]$\lim_{x\to x_0^+} f(x)$[/tex]
se i due limiti sono uguali, basta porre [tex]$f^*(x_0)=\lim_{x\to x_0^+} f(x)$[/tex]; se i due limiti non sono uguali, invece, il problema non ha soluzione.
Lascio a te spiegare il perchè di questi fatti.
Il problema ti sta chiedendo se la funzione è prolungabile per continuità, cioè se esiste una funzione [tex]$f^*(x)$[/tex] definita in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex], ivi continua, e tale che [tex]$f^*(x)=f(x)$[/tex] per [tex]$x$[/tex] nel dominio di [tex]$f$[/tex].
Quindi non c'entra nulla il fatto che [tex]$f$[/tex] non sia definita in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] (altrimenti a cosa servirebbe prolungarla?).
Inoltre, la funzione continua [tex]$f^*$[/tex] la devi costruire tu a partire da [tex]$f$[/tex]; come fai? Beh, è facile: nei punti in cui [tex]$f$[/tex] è continua si pone [tex]$f^*(x)=f(x)$[/tex]; mentre nei punti [tex]$x_0$[/tex] in cui [tex]$f$[/tex] non è definita si calcolano:
[tex]$\lim_{x\to x_0^-} f(x)$[/tex] e [tex]$\lim_{x\to x_0^+} f(x)$[/tex]
se i due limiti sono uguali, basta porre [tex]$f^*(x_0)=\lim_{x\to x_0^+} f(x)$[/tex]; se i due limiti non sono uguali, invece, il problema non ha soluzione.
Lascio a te spiegare il perchè di questi fatti.
Si, è tutto stato spiegato a lezione quando abbiamo introdotto i punti di discontinuità, se i limiti laterali fossero finiti ma diversi avremmo un punto di discontinuità di 1° specie.
Si vede ad occhio che a parte lo zero è continua in tutto il dominio e che il limite coincide con il valore della funzione nel punto.
In questo caso i limiti laterali in 0 coincidono, siccome la funzione non è definita è discontinua e quindi ammette un punto di discontinuità eliminabile, allora posso rispondere che la funzione è prolungabile per continuità in R e vale:
[tex]\left\{\begin{matrix}
e^{-\frac{1}{x^2}}\\
0\end{matrix}\right.[/tex] Primo caso se x diverso da 0, altrimenti vale 0.
Credo sia tutto..
Si vede ad occhio che a parte lo zero è continua in tutto il dominio e che il limite coincide con il valore della funzione nel punto.
In questo caso i limiti laterali in 0 coincidono, siccome la funzione non è definita è discontinua e quindi ammette un punto di discontinuità eliminabile, allora posso rispondere che la funzione è prolungabile per continuità in R e vale:
[tex]\left\{\begin{matrix}
e^{-\frac{1}{x^2}}\\
0\end{matrix}\right.[/tex] Primo caso se x diverso da 0, altrimenti vale 0.
Credo sia tutto..
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