Analisi matematica di base

1) Mostrare che il problema di Cauchy \[\displaystyle \begin{cases} y'={{x^2-1}\over{x^2y^4+x^2+1}} \\ y(1)=3 \end{cases} \] ammetta soluzione $\phi$ unica su tutto $\mathbb{R}$. Individuare i punti estremanti di $\phi$ precisandone la natura; mostrare quindi che esistono i limiti a $x\rightarrow +\infty$ e a $x\rightarrow -\infty$ e determinarli. Non è richiesta e non è necessaria la determinazione esplicita di $\phi$. Per dimostrare avevo pensato di usare il ...

Salve mi è stata assegnata la funzione: $xlog|x|-arctan((|x|+x+2)/2)$ di questa funzione devo: 1) determinare il campo di esistenza ed eventuali punti singolari. 2)determinare eventuali asintoti 3)studiarne la derivabilità e il segno della derivata. Risolvendo ho ottenuto che: 1) il campo di esistenza è tutto $R\{0}$ con x=0 punto di singolarità eliminabile. 2) non ci sono asintoti. 3) qui arrivano i problemi, ho provato a derivare la funzione pensandola come 2 funzioni diverse ...

Salve a tutti ragazzi, svolgendo un esercizio di meccanica razionale mi è sorto un dubbio su una derivata parziale. Sapendo che x misura un angolo, il termine "mgrx" è costante o meno rispetto alla derivata parziale della funzione rispetto ad x? Io nell'esercizio l'ho considerato costante e quindi la sua derivata nulla.

Salve, potete darmi, per favore una mano con la risoluzione del seguente esercizio? $ sum_{k=1}^oo (e^(k^-alpha ) - cos(1/k) ) $ Grazie in anticipo

Buonasera, devo sviluppare la funzione \(\displaystyle \cos x^2 \) all'ordine \(\displaystyle n=10 \) con resto di Peano. Premetto che sto studiando analisi da solo per cui ho ricordato lo sviluppo di \(\displaystyle \cos z \) ovvero: \(\displaystyle \cos z = 1 -\frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - ... + (-1)^n \frac{z^{2m}}{(2m)!} + o(z^{2m+1}) \) Inizialmente ho quindi sostituito \(\displaystyle x^2 = z \) ottenendo \(\displaystyle \cos x^2 = 1 -\frac{x^4}{2!} + \frac{x^8}{4!} -... + ...

Salve ragazzi , ho svolto questo limite, ma mi sembra troppo semplice per cui vi chiedo di dargli un'occhiata : $ lim_(x -> 0) $ $ ((1-6x)^(1/3) + sin(2x) - cos(x^2) ) /( x^3 + (xsinx)^(1/2)ln(1+x))$ = $ lim_(x -> 0) $ $(1-2x-4x^2+2x-1+x^4/2+o(x^4) + o(x^2)) /( x^3+x^2+o(x^2) $ = $ lim_(x -> 0) $ $(-4x^2 + o(x^2))/(x^2+o(x^2))$ =-4 Va bene ?

Salve, non riesco proprio a capire come svolgere il seguente esercizio: indicare per quali $a,b in RR$ il seguente integrale converge: \[ \int_0^\infty x^a\ \sin(x^b)\ \text{d} x \] grazie

Il mio professore di Analisi 2 ha questa mania di dare esercizi che per lui sono "banali" e completamente "di base". Tralasciando questa sua scelta di vocabolario non molto azzeccato (e vedrete perché), ho questi due esercizi che non riesco a risolvere. 1) Al variare del parametro reale $\alpha$, si consideri il problema di Cauchy \begin{cases}xy''=2|y'| \\ y(1)=1\\y'(1)=\alpha\end{cases} Si stabilisca per quali valori di $alpha$ il problema ammette soluzione definita su ...

Buongiorno, ho un dubbio su questo argomento: integrale di funzioni razionali di funzioni goniometriche Una funzione continua è integrabile. Nei testi si dice che per funzioni razionali di funzioni goniometriche del tipo $sin(x)$ o $cos(x)$ si utilizzano le formule parametriche. Ma se pongo $t=tan(x/2)$ non è vero che $dx = 2dt/(1+t^2) $. È vero solo per $x$ $in$ $(-pi,pi)$ in quanto $x = 2arctan(t) $ ! per cui se ho ad esempio ...

Ciao a tutti, in un esercizio preso da una prova d'esame c'è una funzione a tratti così definita: f(t)= $1/((t-1)(t-2))$ se t < 0 $((t+1)/t)^(2/3)$ se t >= 0 Quello che mi chiedo è come può la seconda parte essere definita per t >= 0 se è presente la t al denominatore. L'uguale non dovrebbe stare nel prima tratto?

Salve Stavo svolgendo la seguente funzione elementare: $ sqrt(1+x^2) $ Poichè non ci sono asintoti orizzontali sono andato alla ricerca di quelli obliqui. Calcolando m con $ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} $ si ha il risultato di $1$, calcolando poi la q con $\lim_{x \to \infty} f(x)-mx$ si ha il risultato di $0$. L'asintoto obliquo sara' quindi $ y=x $. La mia domanda e' : come si puo' trovare l'asintoto obliquo opposto (che compare nel grafico della funzione) $y=-x$ ? Da ...

ciao a tutti! ho un problema $ f(x,y)={ ( (x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2) se (x,y)!=0 ),( 0 se (x,y)=0 ):}$ DOMINIO è tutto R^2 perché il primo termine è definito ovunque e il seno è su tutto R^2 tranne che nell'origine, ma poiché è discontinuità eliminabile lo definisco anche li, quindi funzione definita in R^2 . CONTINUITA' calcolata rispetto a x rispetto a y mo dà il valore della funzione nell'origine quindi continua in R^2. DERIVABILITA' faccio la derivata parziale rispetto a x e y ed è derivabile parzialmente rispetto a x e y tranne nell'origine. ...

Ho questo dubbio: dalla definizione posso concludere che se una funzione $f(x)$ è continua in $x_0$ allora esiste un intorno "piccolo" di $x_0$ tale che $f(x)$ è continua; se esiste il limite $\lim_{x \to \x_0}f(x)$ allora esiste $\lim_{x \to \x_1}f(x)$ con $ x_1 $ $in$ un certo intorno di $x_0$ . Se l'intorno non esistesse la funzione non sarebbe continua nel primo caso (a meno che non sia un punto isolato) e non avrebbe ...

ho una domanda $ f(x,y)=log(1+abs(xy)) $ sbaglio se dico 1. che la funzione è definita in R^2 perché il valore assoluto è definito in R^2 e il logaritmo è definito per termine positivo, ma poiché col valore assoluto lo è sempre, è quindi definita in R^2 ? 2. che la funzione è continua in R^2 perché il valore assoluto è una funzione continua nel suo dominio e il logaritmo è continuo nel suo dominio, quindi R^2? Per la derivabilità poi dovrò calcolare le derivate rispetto a x e y e vedere per quali ...

Come si usano i moltiplicatori di Lagrange per trovare il punto di distanza minima da una certa retta? Ad esempio, ho: $ D={(x,y):(x-y)^6+(x+y)^6=1} $ e la retta x=1.

"Si consideri la superficie S ottenuta dalla rotazione di $2pi$ attorno all'asse x della curva: $ varphi (x) =(x,0,cosx) $ con x che varia tra $0$ e $pi/2$. a) Si scrivano le sue equazioni parametrica e cartesiana. b) Si trovi il piano tangente ad S nel punto $(pi/4,1/2,1/2)$. " È il primo esercizio di questo tipo che svolgo. Dalla teoria mi è parso di capire (correggetemi se sbaglio) che l'equazione parametrica di S sia: $ S:{ ( x=tcostheta ),( y=tsintheta ),( z=cost ):} $ con ...

Buongiorno. Data $ f(x,y)=xye^(-(x^2+y^2) $ cerco i massimi e minimi globali su $ E={(x,y):0<=x<=y,x^2+y^2<=2} $. Dopo aver cercato i punti critici di $f$, disegno il grafico di $E$ : E cerco una parametrizzazione. Il mio prof procede con $ f(t,t)=t^2e^(-2t^2) \to t \in [2,sqrt(2)] $ $ f(sqrt(2)cost,sqrt(2)sent)= 2/e^2 costsent \to t \in [\pi/4,\pi/2] $ $ f(0,sqrt(2)-t)=0 \to t\in[0,sqrt(2)] $ Volevo sapere qual'è il procedimento analitico per trovare in particolare la seconda restrizione. Di solito (per quello che ho visto), per curve ancora più semplici le ...

Devo studiare massimi e minimi della funzione: $ f(x,y,z)=e^(1/(x+y+z+3)) $ nell'insieme $ T={(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1} $. E volevo qualche dritta su come fare.

Ciao ragazzi, oggi mi trovo davanti a questa funzione: \(\displaystyle f(x) = x^xln(ex) \), \(\displaystyle \forall x \in dom(f) \) Immediamente l'ho riscritta come \(\displaystyle f(x) = e^{xln(x)}(ln(x)+1) \) Il primo punto mi chiede di determinare il dominio e l'immagine di \(\displaystyle f(x) \) A me risulta che il \(\displaystyle dom(f(x)) = (0,+\infty) \) e \(\displaystyle Im(f(x)) = \mathbb{R} \) Il secondo punto mi chiede di discutere il numero delle soluzioni al variare di ...

Salve come da titolo devo studiare il carattere della seguente serie: $sum_(n = 1)(sqrt(n^2+1)-n)/(sqrt(n(n+1)$ l'unico strumento che mi viene in mente è il criterio della radice che però non riesco proprio ad applicarlo con tutte quelle radici, c'è qualche metodo alternativo, oppure qualcuno può seguirmi passo passo?