Integrale di funzioni razionali di funzioni goniometriche solo per x : esista l'inversa
Buongiorno,
ho un dubbio su questo argomento:
integrale di funzioni razionali di funzioni goniometriche
Una funzione continua è integrabile.
Nei testi si dice che per funzioni razionali di funzioni goniometriche del tipo $sin(x)$ o $cos(x)$ si utilizzano le formule parametriche.
Ma se pongo $t=tan(x/2)$ non è vero che $dx = 2dt/(1+t^2) $. È vero solo per $x$ $in$ $(-pi,pi)$ in quanto $x = 2arctan(t) $ !
per cui se ho ad esempio $\int tanx/ (tanx + sinx) dx$ con certezza so solo che, effettuando le sostituzione e cacolando, l'integrale vale $ tan(x/2) + c $ solo per $x$ $in$ $(-pi,pi)$ . Perché tutti i testi non scrivono questa condizione?
Se ho invece $\int sinx/ (1 + sinx) dx$ dato che deve essere $x$ $in$ $(-pi,pi)$ $^^$ $x$ $!=$ $-3/2pi$ posso dire che l'integrale, senza farlo, che diventa $\int 4 t/ [(1 + t)^2 (1+t^2)] dt$ esiste certamente in $x$ $in$ $(-pi,3pi/2)$ ma nulla di più se non uso altri teoremi
ho un dubbio su questo argomento:
integrale di funzioni razionali di funzioni goniometriche
Una funzione continua è integrabile.
Nei testi si dice che per funzioni razionali di funzioni goniometriche del tipo $sin(x)$ o $cos(x)$ si utilizzano le formule parametriche.
Ma se pongo $t=tan(x/2)$ non è vero che $dx = 2dt/(1+t^2) $. È vero solo per $x$ $in$ $(-pi,pi)$ in quanto $x = 2arctan(t) $ !
per cui se ho ad esempio $\int tanx/ (tanx + sinx) dx$ con certezza so solo che, effettuando le sostituzione e cacolando, l'integrale vale $ tan(x/2) + c $ solo per $x$ $in$ $(-pi,pi)$ . Perché tutti i testi non scrivono questa condizione?
Se ho invece $\int sinx/ (1 + sinx) dx$ dato che deve essere $x$ $in$ $(-pi,pi)$ $^^$ $x$ $!=$ $-3/2pi$ posso dire che l'integrale, senza farlo, che diventa $\int 4 t/ [(1 + t)^2 (1+t^2)] dt$ esiste certamente in $x$ $in$ $(-pi,3pi/2)$ ma nulla di più se non uso altri teoremi
Risposte
Giusta precisazione.
E non è vero che i testi non lo scrivono… Dipende da che testo usi.
Inoltre, osserva che il Teorema di Unicità delle Primitive a meno di Costanti Additive, quello che usi per scrivere $int f(x) text(d) x = F(x) + c$, così come la Formula di Integrazione per Sostituzione “Inversa”, quella che usi quando poni $t = tan (x/2)$, valgono entrambi in intervalli, il primo nell’intervallo di definizione di $f$ (o, comunque, in un sottointervallo del suo dominio) ed il secondo in un intervallo in cui la sostituzione è invertibile e consente di ricavare $x$ come funzione di $t$.
Tanto per capirci, anche la formula $int 1/x text(d) x = log |x| + c$ non vale su tutto $RR \setminus \{0\}$, ma solo su $]0,+oo[$ o su $]-oo,0[$; il fatto che entrambi i casi vengano compendiati nella stessa formula è solo per comodità.
E non è vero che i testi non lo scrivono… Dipende da che testo usi.
Inoltre, osserva che il Teorema di Unicità delle Primitive a meno di Costanti Additive, quello che usi per scrivere $int f(x) text(d) x = F(x) + c$, così come la Formula di Integrazione per Sostituzione “Inversa”, quella che usi quando poni $t = tan (x/2)$, valgono entrambi in intervalli, il primo nell’intervallo di definizione di $f$ (o, comunque, in un sottointervallo del suo dominio) ed il secondo in un intervallo in cui la sostituzione è invertibile e consente di ricavare $x$ come funzione di $t$.
Tanto per capirci, anche la formula $int 1/x text(d) x = log |x| + c$ non vale su tutto $RR \setminus \{0\}$, ma solo su $]0,+oo[$ o su $]-oo,0[$; il fatto che entrambi i casi vengano compendiati nella stessa formula è solo per comodità.
"gugo82":
Giusta precisazione.
E non è vero che i testi non lo scrivono… Dipende da che testo usi.
Grazie
In verità i testi Canuto-Tabacco, Verzini-Terracini e Pagani-Salsa di Analisi I non lo dicono mai neanche nella teoria, dicono solo che sono "identità trigonometriche", che $x=2arctan(t)$ e non citano la Formula di Integrazione per Sostituzione “Inversa”.
Dato che il Canuto-Tabacco ha usato questa Formula negli esercizi mi sono informato su un sito noto che specifica che $x=2arctan(t)$ vale ovviamente per $x$ $in$ $(-pi,pi)$ ma negli esercizi non specifica perché l'integrale indefinito vale $AA$ $x$ $in$ intervalli $sube$ $domf$ se siamo partiti da $x$ $in$ $(-pi,pi)$ .
Il Pagani & Salsa lo dice en passant (a pagg. 412-413), il testo della Terracini lo dovrei controllare, il testo dei fumatori non l’ho mai praticato.
Ad ogni buon conto, nessuno dei tre testi mi pare una “bibbia” sull’integrazione indefinita, quindi è normale che certe questioni vengano affrontate più superficialmente.
Se ci hai fatto caso, ci sono due formule di integrazione per sostituzione: una “diretta”:
\[
\int_a^b f(\phi (x))\ \phi^\prime (x)\ \text{d} x = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(t)\ \text{d} t
\]
in cui non hai bisogno di fare ipotesi di invertibilità su $phi$ perché stai sostituendo direttamente $t=phi(x)$, l’altra “inversa” (in cui sostanzialmente i ruoli delle variabili di integrazione sono scambiati):
\[
\int_a^b f(x)\ \text{d} x = \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f(\phi(t))\ \phi^\prime (t)\ \text{d} t
\]
in cui devi fare l’ipotesi che $phi$ sia invertibile perché stai facendo la sostituzione $x = phi(t)$, che va invertita per ricavare la variabile ausiliaria $t$.
Ad ogni buon conto, nessuno dei tre testi mi pare una “bibbia” sull’integrazione indefinita, quindi è normale che certe questioni vengano affrontate più superficialmente.
Se ci hai fatto caso, ci sono due formule di integrazione per sostituzione: una “diretta”:
\[
\int_a^b f(\phi (x))\ \phi^\prime (x)\ \text{d} x = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(t)\ \text{d} t
\]
in cui non hai bisogno di fare ipotesi di invertibilità su $phi$ perché stai sostituendo direttamente $t=phi(x)$, l’altra “inversa” (in cui sostanzialmente i ruoli delle variabili di integrazione sono scambiati):
\[
\int_a^b f(x)\ \text{d} x = \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f(\phi(t))\ \phi^\prime (t)\ \text{d} t
\]
in cui devi fare l’ipotesi che $phi$ sia invertibile perché stai facendo la sostituzione $x = phi(t)$, che va invertita per ricavare la variabile ausiliaria $t$.
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