Continuità e definizione e derivabilità
ho una domanda
$ f(x,y)=log(1+abs(xy)) $
sbaglio se dico
1. che la funzione è definita in R^2 perché il valore assoluto è definito in R^2 e il logaritmo è definito per termine positivo, ma poiché col valore assoluto lo è sempre, è quindi definita in R^2 ?
2. che la funzione è continua in R^2 perché il valore assoluto è una funzione continua nel suo dominio e il logaritmo è continuo nel suo dominio, quindi R^2?
Per la derivabilità poi dovrò calcolare le derivate rispetto a x e y e vedere per quali valori non sono soddisfatte , dove cioè rispettivamente per x e y i limiti da dx e sx non coincidono?
grazie!
$ f(x,y)=log(1+abs(xy)) $
sbaglio se dico
1. che la funzione è definita in R^2 perché il valore assoluto è definito in R^2 e il logaritmo è definito per termine positivo, ma poiché col valore assoluto lo è sempre, è quindi definita in R^2 ?
2. che la funzione è continua in R^2 perché il valore assoluto è una funzione continua nel suo dominio e il logaritmo è continuo nel suo dominio, quindi R^2?
Per la derivabilità poi dovrò calcolare le derivate rispetto a x e y e vedere per quali valori non sono soddisfatte , dove cioè rispettivamente per x e y i limiti da dx e sx non coincidono?
grazie!
Risposte
SE ho capito quello che stai dicendo:
1)Si, il ragionamento dovrebbe essere giusto.
Infatti, dal tuo ragionamento se $f(g(x,y)) = log(1+g(x,y))$ dove $g:RR^2\rarr[0;+oo)$
Allora in generale è vero che $dom(f) = RR^2$
Dato che all'interno del $log$ mettiamo l'immagine di $g(x,y)$ che come abbiamo visto è sempre positiva.
2)La funzione è continua perchè composizione di funzioni continue
Per la derivabilità devi studiare la continuità del gradiente della funzione $\nablaf$, cioè la continuità di tutte le sue componenti (che così ad occhio non penso sia continuo)
1)Si, il ragionamento dovrebbe essere giusto.
Infatti, dal tuo ragionamento se $f(g(x,y)) = log(1+g(x,y))$ dove $g:RR^2\rarr[0;+oo)$
Allora in generale è vero che $dom(f) = RR^2$
Dato che all'interno del $log$ mettiamo l'immagine di $g(x,y)$ che come abbiamo visto è sempre positiva.
2)La funzione è continua perchè composizione di funzioni continue
Per la derivabilità devi studiare la continuità del gradiente della funzione $\nablaf$, cioè la continuità di tutte le sue componenti (che così ad occhio non penso sia continuo)
no, la derivabilità non mi è molto chiara su questa funzione. potreste spiegarmela meglio, che passi fate?
ho provato a svolgerlo ma non sono sicuro...mi risulta che è derivabile in $ (x,y)!= 0 $ $ (x,y)= (0,0) $ mentre non in (0,y) e (x,0) perché usando la definizione di derivabilità esistono finiti solo nei primi due casi, mentre negli altri due casi non esiste il limite. vi porta uguale?
grazie
ho provato a svolgerlo ma non sono sicuro...mi risulta che è derivabile in $ (x,y)!= 0 $ $ (x,y)= (0,0) $ mentre non in (0,y) e (x,0) perché usando la definizione di derivabilità esistono finiti solo nei primi due casi, mentre negli altri due casi non esiste il limite. vi porta uguale?
grazie
"bastian.0":
ho una domanda
$ f(x,y)=log(1+abs(xy)) $
sbaglio se dico
1. che la funzione è definita in R^2 perché il valore assoluto è definito in R^2 e il logaritmo è definito per termine positivo, ma poiché col valore assoluto lo è sempre, è quindi definita in R^2 ?
Si ma invece di tanti voli pindarici, perché non stabilire il dominio come si deve? Si tratta di risolvere la disequazione
\[
1+\lvert xy\rvert >0.\]
Siccome tale disequazione è sempre verificata, il dominio è \(\mathbb R^2\). La funzione è composizione di funzioni continue e quindi è continua. Molto meglio, così.
Quanto alla derivabilità, tu sai che la funzione è certamente differenziabile per \(x\ne 0, y\ne 0\). Si tratta di vedere cosa succede sugli assi e nell'origine applicando la definizione.
Faccio notare una cosa sulla quale dissonance ha sorvolato perché interessato ad altro tipo di ragionamento
Attenzione, sbagli perché il valore assoluto NON è una funzione di due variabli, ma di UNA variabile.
Oltretutto, se fosse una funzione di due variabili, la scrittura abs(xy) non avrebbe senso.
"bastian.0":
...
$ f(x,y)=log(1+abs(xy)) $
sbaglio se dico
1. che la funzione è definita in R^2 perché il valore assoluto è definito in R^2
...
Attenzione, sbagli perché il valore assoluto NON è una funzione di due variabli, ma di UNA variabile.
Oltretutto, se fosse una funzione di due variabili, la scrittura abs(xy) non avrebbe senso.
"Fioravante Patrone":Giustissimo, grazie Fioravante, è sempre un piacere "rileggerti".
Attenzione, sbagli perché il valore assoluto NON è una funzione di due variabli, ma di UNA variabile.
Oltretutto, se fosse una funzione di due variabili, la scrittura abs(xy) non avrebbe senso.
Ciao vorrei saperne di più su questa cosa del valore assoluto 
Perché se prendo $x_0=5$ e $y_0=-5$ non ha senso dire che $g(x,y)=abs(xy)\rarrg(x_0,y_0)=|-5*5|=25?$
Si possono creare delle ambiguità?Se si, quali?
Perché se prendo $x_0=5$ e $y_0=-5$ non ha senso dire che $g(x,y)=abs(xy)\rarrg(x_0,y_0)=|-5*5|=25?$
Si possono creare delle ambiguità?Se si, quali?
@ caffeinaplus: Beh, la tua $g(x,y)$ si ottiene componendo la funzione di due variabili $t(x,y):= xy$ con quella di una variabile $phi(t):=|t|$.
Ma il valore assoluto in sé, ossia la funzione $phi$, dipende da un unica variabile.
Ma il valore assoluto in sé, ossia la funzione $phi$, dipende da un unica variabile.
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