Flusso superficie orientata
"Si consideri la superficie $ S={(x,y,z): |y|+2|x|=z+1, 0
Calcolare il flusso del campo vettoriale $ F =(y, x, z^2/2) $ attraverso S, orientando la superficie in
modo tale che la normale a S nel punto $ (1/2, 1/2, 1/2) $ abbia terza componente negativa."
Come si risolve questa tipologia di esercizi? In particolare la parte in cui bisogna imporre che la normale a S nel punto abbia terza componente negativa. Se qualcuno di voi avesse il tempo di svolgerlo o comunque di svolgerne uno simile, mi farebbe un gran favore.
Calcolare il flusso del campo vettoriale $ F =(y, x, z^2/2) $ attraverso S, orientando la superficie in
modo tale che la normale a S nel punto $ (1/2, 1/2, 1/2) $ abbia terza componente negativa."
Come si risolve questa tipologia di esercizi? In particolare la parte in cui bisogna imporre che la normale a S nel punto abbia terza componente negativa. Se qualcuno di voi avesse il tempo di svolgerlo o comunque di svolgerne uno simile, mi farebbe un gran favore.
Risposte
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Ciao 
Sicuramente esiste un'idea migliore ma per ora accontentati della mia
Potresti provare a linearizzare la superficie in quel punto con gli sviluppi di Taylor al primo ordine, poi da li trovare la retta normale al piano.
Dato che il piano è una approssimazione della superficie in quel punto dovrebbero avere la normale il comune.
Magari puoi ottenerla facendo il prodotto vettore tra i vettori che generano il piano
Sul come orientarla per ora non so aiutarti
Sicuramente esiste un'idea migliore ma per ora accontentati della mia
Potresti provare a linearizzare la superficie in quel punto con gli sviluppi di Taylor al primo ordine, poi da li trovare la retta normale al piano.
Dato che il piano è una approssimazione della superficie in quel punto dovrebbero avere la normale il comune.
Magari puoi ottenerla facendo il prodotto vettore tra i vettori che generano il piano
Sul come orientarla per ora non so aiutarti
Credo che il mio professore utilizzi il primo metodo qui spiegato: http://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Table ... 14_L53.pdf
Quindi parametrizzazione classica della superficie, calcolo di n e risoluzione dell'integrale doppio.
Per imporre che n abbia terza componente negativa credo si dovrebbe semplicemente adattare la parametrizzazione...
Però vengono molti calcoli complicati.
C'è qualcuno che ha un'alternativa?
Quindi parametrizzazione classica della superficie, calcolo di n e risoluzione dell'integrale doppio.
Per imporre che n abbia terza componente negativa credo si dovrebbe semplicemente adattare la parametrizzazione...
Però vengono molti calcoli complicati.
C'è qualcuno che ha un'alternativa?
Le superfici sono piane:
In particolare, $z=0$ sulla frontiera del rombo interno e $z=1$ sulla frontiera del rombo esterno.
In particolare, $z=0$ sulla frontiera del rombo interno e $z=1$ sulla frontiera del rombo esterno.
Ma così come impongo che la normale abbia componente negativa?
Dall'algebra lineare, la superficie avente l'equazione sottostante:
ha un vettore normale di componenti $(2,1,-1)$. Per quanto riguarda le altre tre superfici, conviene procedere per simmetria:
$[x gt= 0] ^^ [y gt= 0] ^^ [0 lt z lt 1] ^^ [2x+y-z-1=0]$
ha un vettore normale di componenti $(2,1,-1)$. Per quanto riguarda le altre tre superfici, conviene procedere per simmetria:
$[x lt= 0] ^^ [y gt= 0] ^^ (-2,1,-1)$
$[x gt= 0] ^^ [y lt= 0] ^^ (2,-1,-1)$
$[x lt= 0] ^^ [y lt= 0] ^^ (-2,-1,-1)$
Nel calcolo del flusso però trovo un solo n. Come faccio? Devo risolvere più integrali?
"maxira":
Devo risolvere più integrali?
In generale, al netto di eventuali simmetrie, sì. Ad ogni modo, almeno per quanto riguarda il primo dei quattro integrali:
Primo quadrante
$\{(u gt= 0),(v gt= 0),(1 lt= 2u+v lt= 2):} ^^ \{(x=u),(y=v),(z=2u+v-1):} ^^ vecn=
|(veci,vecj,veck),((delx)/(delv),(dely)/(delv),(delz)/(delv)),((delx)/(delu),(dely)/(delu),(delz)/(delu))|=|(veci,vecj,veck),(0,1,1),(1,0,2)|=2veci+vecj-veck rarr$
|(veci,vecj,veck),((delx)/(delv),(dely)/(delv),(delz)/(delv)),((delx)/(delu),(dely)/(delu),(delz)/(delu))|=|(veci,vecj,veck),(0,1,1),(1,0,2)|=2veci+vecj-veck rarr$
$rarr \Phi_1=\int_{0}^{1/2}du\int_{-2u+1}^{-2u+2}dv[2v+u-1/2(2u+v-1)^2]+\int_{1/2}^{1}du\int_{0}^{-2u+2}dv[2v+u-1/2(2u+v-1)^2]$
P.S.
Potrebbe convenire, chiudendo opportunamente la superficie (tronco di piramide), procedere mediante il teorema della divergenza. Probabilmente non è un caso che la divergenza del campo vettoriale sia semplicemente $z$ e che il calcolo del flusso attraverso le superfici di base sia banale. Tuttavia, ci vuole un po' di esperienza.
Come ricavi che u varia tra 0 e 1/2?
E il punto P(1/2, 1/2, 1/2) non serve quindi?
E il punto P(1/2, 1/2, 1/2) non serve quindi?
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