Esercizio esame analisi 1 - studio di funzione
Ciao ragazzi,
oggi mi trovo davanti a questa funzione: \(\displaystyle f(x) = x^xln(ex) \), \(\displaystyle \forall x \in dom(f) \)
Immediamente l'ho riscritta come \(\displaystyle f(x) = e^{xln(x)}(ln(x)+1) \)
Il primo punto mi chiede di determinare il dominio e l'immagine di \(\displaystyle f(x) \)
A me risulta che il \(\displaystyle dom(f(x)) = (0,+\infty) \) e \(\displaystyle Im(f(x)) = \mathbb{R} \)
Il secondo punto mi chiede di discutere il numero delle soluzioni al variare di \(\displaystyle k \in \mathbb{R} \) dell'equazione: \(\displaystyle x^xln(ex) = kx \)
Io ho provato a studiarne la monotonia al fine di trovare gli zeri.
E' uscito fuori che \(\displaystyle f'(x) = e^{xln(x)}(ln(x)+1)^2 + \frac{1}{x} e^{xln(x)} - k \)
Ho trovato che per \(\displaystyle k \leq 0 \) ho che \(\displaystyle f'(x) > 0 \), allora abbiamo \(\displaystyle f(x) \) crescente, allora un unico zero.
Per \(\displaystyle k > 0 \) non so come procedere... ho disegnato la funzione su desmos, ho visto che si comporta ma non riesco a studiarla analiticamente.
Successivamente, tornando alla \(\displaystyle f(x) \) originaria, chiede di provare che è invertibile (ovvio) e di determinare \(\displaystyle f^{-1}(ln(16e^4)) \), ma non so come fare.
Infine chiede di stabilire se i seguenti integrali impropri convergono o divergono:
\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{f(x)} dx\)
\(\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} dx \)
Grazie a tutti e scusate per la marea di domande ma non so che pesci prendere.
oggi mi trovo davanti a questa funzione: \(\displaystyle f(x) = x^xln(ex) \), \(\displaystyle \forall x \in dom(f) \)
Immediamente l'ho riscritta come \(\displaystyle f(x) = e^{xln(x)}(ln(x)+1) \)
Il primo punto mi chiede di determinare il dominio e l'immagine di \(\displaystyle f(x) \)
A me risulta che il \(\displaystyle dom(f(x)) = (0,+\infty) \) e \(\displaystyle Im(f(x)) = \mathbb{R} \)
Il secondo punto mi chiede di discutere il numero delle soluzioni al variare di \(\displaystyle k \in \mathbb{R} \) dell'equazione: \(\displaystyle x^xln(ex) = kx \)
Io ho provato a studiarne la monotonia al fine di trovare gli zeri.
E' uscito fuori che \(\displaystyle f'(x) = e^{xln(x)}(ln(x)+1)^2 + \frac{1}{x} e^{xln(x)} - k \)
Ho trovato che per \(\displaystyle k \leq 0 \) ho che \(\displaystyle f'(x) > 0 \), allora abbiamo \(\displaystyle f(x) \) crescente, allora un unico zero.
Per \(\displaystyle k > 0 \) non so come procedere... ho disegnato la funzione su desmos, ho visto che si comporta ma non riesco a studiarla analiticamente.
Successivamente, tornando alla \(\displaystyle f(x) \) originaria, chiede di provare che è invertibile (ovvio) e di determinare \(\displaystyle f^{-1}(ln(16e^4)) \), ma non so come fare.
Infine chiede di stabilire se i seguenti integrali impropri convergono o divergono:
\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{f(x)} dx\)
\(\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} dx \)
Grazie a tutti e scusate per la marea di domande ma non so che pesci prendere.
Risposte
Ciao mariokarter,
L'equazione
$f(x) = x^x ln(ex) = x^x (ln x + 1) = kx $
ha una sola soluzione per $ k < 0 $ come hai scritto;
ha una sola soluzione anche per $k = 0 $ (intersezione con l'asse $x$) che è anche facile da determinare: $x = 1/e $;
ha una sola soluzione anche per $k > 0 $ (si vede molto bene graficamente); ad esempio nel caso particolare $k = 1 > 0 $ si ha la soluzione $x = 1 $.
Potrebbe anche farti comodo osservare che $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty $, per cui la funzione proposta ha un asintoto verticale di equazione $x = 0 $ (asse $y $).
L'equazione
$f(x) = x^x ln(ex) = x^x (ln x + 1) = kx $
ha una sola soluzione per $ k < 0 $ come hai scritto;
ha una sola soluzione anche per $k = 0 $ (intersezione con l'asse $x$) che è anche facile da determinare: $x = 1/e $;
ha una sola soluzione anche per $k > 0 $ (si vede molto bene graficamente); ad esempio nel caso particolare $k = 1 > 0 $ si ha la soluzione $x = 1 $.
Potrebbe anche farti comodo osservare che $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty $, per cui la funzione proposta ha un asintoto verticale di equazione $x = 0 $ (asse $y $).
"mariokarter":
Il primo punto mi chiede di determinare il dominio e l'immagine di \(\displaystyle f(x) \)
A me risulta che il \(\displaystyle dom(f(x)) = (0,+\infty) \) e \(\displaystyle Im(f(x)) = \mathbb{R} \)
Qui conto che tu abbia fatto i limiti $x->0^+$ e $x->+oo$ per poter affermare che l'immagine è tutto $R$
E a questo punto potevi anche già mostrare che è monotona crescente (perchè la derivata prima è sempre positiva) e che passa $(1/e,0)$
"mariokarter":
Il secondo punto mi chiede di discutere il numero delle soluzioni al variare di \(\displaystyle k \in \mathbb{R} \) dell'equazione: \(\displaystyle x^xln(ex) = kx \)
Io ho provato a studiarne la monotonia al fine di trovare gli zeri.
Molto più semplicemente $x^x(ln(ex)=kx$ chiede se la funzione $f(x)$ e la retta $y=kx$ si intersecano e quante volte.
Una volta che hai provato (al punto precedente) che la f(x) è monotona crescente, viene da se che ogni singola retta del fascio di rette passanti per l'origine può intersecare la f(x) in un solo unico punto (riflettici, pensa al dominio della f(x) e al fatto che sia monotona).
"mariokarter":
Successivamente, tornando alla \(\displaystyle f(x) \) originaria, chiede di provare che è invertibile (ovvio) e di determinare \(\displaystyle f^{-1}(ln(16e^4)) \), ma non so come fare.
Tutto ovvio per te
Però non hai provato nulla di tutto ciò in questo post!
Infine, dato che è ovvio che f(x) è monotona crescente, vuol dire che è invertibile perchè è biettiva.
Se ad una x corrisponde una sola y è vero anche il viceversa. Quindi nella sostanza ti chiede di risolvere:
$x^xln(ex)=ln(16e^4)=ln[(2e)^4]$
$[e^(ln(ex))]^(x^x)=e^(ln[(2e)^4])$
$(ex)^(x^x)=(2e)^4$
E ora procediamo per comparazione. L'equazione ha soluzione se $x^x=4$ e $ex=2e$ da cui otteniamo $x=2$ che soddisfa entrambe.
"mariokarter":
Infine chiede di stabilire se i seguenti integrali impropri convergono o divergono:
\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{f(x)} dx\)
\(\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} dx \)
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