Integrale con senx e parametro

[lschiavone]

Salve, non riesco proprio a capire come svolgere il seguente esercizio:

indicare per quali $a,b in RR$ il seguente integrale converge:
\[
\int_0^\infty x^a\ \sin(x^b)\ \text{d} x
\]

grazie

[pilloeffe]

Ciao Ischiavone,

Mi sa che hai scritto male il testo, perché se scrivo tra i simboli di dollaro ciò che hai scritto si ha:

$ \int_1^{+\infty} x^2 sin(x^b) \text{d}x $

Nell'integrale proposto $a $ neanche compare...

[lschiavone]

"pilloeffe":Ciao Ischiavone,

Mi sa che hai scritto male il testo, perché se scrivo tra i simboli di dollaro ciò che hai scritto si ha:

$ \int_1^{+\infty} x^2 sin(x^b) \text{d}x $

Nell'integrale proposto $a $ neanche compare...

Ho corretto, (un giorno cercherò di capire come si scrivono le formule).
Comunque per a < 0 pensavo di usare il criterio di abel però il resto non so proprio come farlo

[gugo82]

Innanzitutto, conviene spezzare l’integrale nella somma degli integrali (possibilmente impropri):
[tex]\begin{align*}
I_0(a,b) & := \int_0^1 x^a\ \sin x^b\ \text{d}\ x & I_\infty (a,b) &:= \int_1^\infty x^a\ \sin x^b\ \text{d} x \end{align*}[/tex]
e cominciare a vedere per quali valori dei parametri essi convergono.
Il primo converge certamente per $a >=0$ indipendentemente da $b$, mentre la dipendenza dell’integrando (chiamiamolo $f(x)$ per comodità) da $b$ entra nel discorso quando $a<0$. Ad esempio, per $a<0$ si ha $f(x) -> 0$ per $x -> 0$ quando $b>0$ e $b+a>=0$, ossia $b>=|a|$, quindi c’è convergenza; d’altra parte, c’è convergenza assoluta anche se $-1 Per la convergenza semplice nel caso $a<0$ si può pensare di usare qualche criterio fatto a posta, ma conviene prima pensare ai casi semplici.

[lschiavone]

grazie per la risposta, mi restano comunque molti dubbi sul secondo integrale. sul libro di testo viene mostrato ad esempio $ int_0^∞ x*sin(x^6)dx $ come integrale convergente ma non saprei proprio come dimostrare la convergenza in infinito

[pilloeffe]

Non so che esame di Analisi stai preparando e quale testo stai usando, ma gli integrali come quello citato sono una generalizzazione di quelli di Fresnel ed in effetti sono convergenti.
In generale si ha:

$ \int_0^{+\infty} x^a exp(i x^b) \text{d}x = 1/b \Gamma(\frac{a + 1}{b}) e^{i\pi (a + 1)/(2b)} $

$ \int_0^{+\infty} x^a cos(x^b) \text{d}x + i \int_0^{+\infty} x^a sin(x^b) \text{d}x = 1/b \Gamma(\frac{a + 1}{b}) [cos(\pi (a + 1)/(2b)) + i sin(\pi (a + 1)/(2b))] $

Quindi considerando le parti reali e quelle immaginarie si ha:

$ \int_0^{+\infty} x^a cos(x^b) \text{d}x = 1/b \Gamma(\frac{a + 1}{b}) cos(\pi (a + 1)/(2b)) $

$ \int_0^{+\infty} x^a sin(x^b) \text{d}x = 1/b \Gamma(\frac{a + 1}{b}) sin(\pi (a + 1)/(2b)) $

Nel caso dell'ultimo integrale proposto $ \int_0^{+\infty} xsin(x^6) \text{d}x $ si ha $a = 1 $ e $b = 6 $ per cui si ha:

$ \int_0^{+\infty} xsin(x^6) \text{d}x = 1/6 \Gamma(\frac{1 + 1}{6}) sin(\pi (1 + 1)/(12)) = 1/6 \Gamma(1/3) sin(\pi/6) = 1/12 \Gamma(1/3) $

Dai un'occhiata anche qui e qui.

[lschiavone]

Grazie, adesso è tutto più chiaro