Analisi matematica di base
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Ciao a tutti,
sto cercando di capire il metodo di risoluzione delle equazioni differenziali con termine noto conveniente.
prendiamo in esempio una tipica equazione differenziale: $y^n + a_(n-1)y^(n-1) + .. + a_1y' + a_0y = f(x)$.
L'equazione caratteristica è la seguente: $\lambda^n + a_(n-1)\lambda^(n-1) + .. + a_1\lambda + a_0 = 0$
se $f(x) = P_n(x)e^(\lambda x)$
In questo caso abbiamo due possibilità per la risoluzione:
a) se $\lambda$ non è radice dell'equazione caratteristica la soluzione è data da $M_n (x) e^(\lambda)x$ dove $M_n (x)$ è un polinomio di grado ...
Stavolta chiedo solo conferma di un esercizio..XD
Stabilire per quali $ a in RR $ la funzione
g(x)= $ { ( |x|^(a)*sen(1/x) ),( 0 ):} $ la prima per x diverso da 0, la seconda per x=0
è continua e per quali $ a in RR $ è derivabile in x=0
Allora io prima ho diviso il modulo quindi ho un sistema a tre così:
$ { ( (x)^(a)*sen(1/x) ),( (-x)^(a)*sen(1/x) ),( 0 ):} $ la prima per x>0, la seconda x0 e x
Buongiorno a tutti,
sto studiando le equazioni differenziali lineari non omogenee: integrale generale.
Nell'unico esempio presente viene considerata la seguente equazione differenziale:
$y'' + 2y' + y = x$
Il primo passaggio viene così definito: "si verifica che y=x-2 è soluzione di tale equazione differenziale".
La mia domanda é: com'è possibile verificare immediatamente che x-2 è soluzione dell'equazione?
grazie
$y= logx ; $ $Xo=0$
$f(Xo)= log(0) = -infty$
$f'(x)=1/x -> f'(Xo)= 1/0^2= infty$
$f''(x)=-1/x^2->f''(Xo)=-1/0^2=infty$
$f'''(x)=2/x^3->f'''(Xo)=2/0^3=infty$
Sviluppo di mac laurin di $log(x)= infty$
Come potete vedere non riesco a determinare lo sviluppo di mac laurin a causa del fatto che la funzione una volta sostituita la $Xo$ ($Xo=0$ trattandosi di mac laurin) se ne va ad infinito essendo la x al denominatore della frazione. C'è qualche modo per aggirare il problema ?
Se questa è la scala degli infiniti $log(x)$,$x^a$($a>0$),$a^x$,$x!$,$x^x$
Nel caso mi trovi nella situazione di dover confrontare due infiniti,
es $lim_(x->oo)((logx)*x!)/(x^a*x^x)$ con $a>0$ e $x>0$
Come posso determinare se l'infinito più grande sta sopra o sotto?
la seguente maggiorazione è sempre valida?
$|x|+|y|<=2 sqrt(x^2+y^2)$. Grazie ragazzi e complimenti per il sito, siete davvero fantastici...
Data la $ sum((-1)^n*((n^2+sin(n))/(n! + n -log(n))))) $ studiarne il carattere.
Ho una serie a segni alterni.. vorrei studiarne il carattere applicando il criterio di Leibniz I ma data la presenza del !n non so come dimostrare che il termine generale sia monotono decrescente.
$sum sin(1/n)^x/(log(n))$
quindi data la presenza del limite notevole
$sum (1/n)^x/(log(n)) = sum 1/(n^x)*1/(log(n))$
quindi dopo aver verificato che:
$a(n+1)<a(n)$
infatti:
$(1/((n+1)^x)*1/(log(n+1)))-(1/(n^x)*1/(log(n)))<0$
posso applicare il criterio di condensazione di Cauchy:
la serie data diventa
$sum 2^k (1/(2^(kx))*1/(log(2^k)))=1/log2*sum 2^k (1/(2^(kx))*1/k)=1/log2*sum (2^k/(2^(kx))*1/k)=1/log2*sum (2^(k(1-x))/k)$
se è $1-x<0$ quindi $x>1$
confrontando con la serie armonica generalizzate $(1/k^2)$ che per a>2 converge si ha:
$lim_(k->+oo) k*(2^(k(1-x)))=0$ per $x>1$ quindi $1/k^2>2^(k(1-x))/k$ quindi converge per ...
\(\displaystyle f(x,y,z) = xyz \)
\(\displaystyle D = {(x,y,z) : z^2 \leq x^2 + y^2 , z \geq x^2 + y^2} \)
La mia domanda è : come trovo \(\displaystyle \rho \)?
il grafico è da disegnare? se si, come?
gia so che : \(\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi , 0\leq \phi \leq 2\pi \)
Ciao a tutti.
Sto studiando il teorema spettrale ma non riesco a dimostrare una cosa.
Sia \( H \) uno spazio di Hilbert e sia \( T \in L(H) \) (gli operatori lineari continui definiti su tutto \( H \) ).
Sia \( T^\ast \) l'operatore aggiunto di \( T \), cioè quell'operatore tale che, \( \forall x,y \in H, = \).
Allora \( \overline{ R(T^\ast) } = (ker T) ^ \bot \).
Sono riuscito a dimostrare senza problemi che \( \overline{ R(T^\ast) } \subseteq (ker T) ^ \bot \).
Il ...
L'esercizio mi chiede di dimostrare la seguente identità $sum_(n=0)^(+oo) (n+1)/(3^(n+2))x^n=1/(3-x)^2 , |x|<3$.
Ho eseguito la dimostrazione e mi sembra abbastanza corretta, cioè fila tutto...solo che provando a confrontarmi con Wolfram mi dà come risposta $1/(x-3)^2$. Può essere?!
Sia data la successione di funzioni: $f_n(x)=(1+sin(nx))/(1+(n^2x^2-1)^2)$, stabilire se converge uniformemente in $[-1,1]$.
Svolgimento:
Dopo aver capito che $lim_(n->+oo)f_n(x)=0$, vado a studiare la convergenza uniforme, quindi studio il limite:
$lim_(n->+oo)$sup$|f_n(x)|=max|f_n(x)|$. Ora il problema è che se voglio studiare la derivata prima è un bel casino, io avevo pensato a qualche maggiorazione, ma mi chiedevo se era la strada giusta. Volevo sfruttare il fatto che $|sin(nx)|<=1$ e che ...
Volevo una conferma per lo svolgimento di questo esercizio:
Per $\lambda in RR$ sia $u_(\lambda)$ la funzione definita in $(0,1)$ da
$u_(\lambda)(x)=k^(\lambda) , x in [1/(k+1),1/k)$. Per $p=1,2,oo$ determinare i $(\lambda)$ tali che $u_(\lambda) in L^p$
Svolgimento:
1)$p=1 => u_(\lambda) in L^1(0,1) <=> ||u_(\lambda)||_1<+oo <=> sum_(k=1)^(+oo) int_(1/(k+1))^(1/k)k^(\lambda)<+oo$
facendo un pò di conti ho trovato che quella serie risulta essere $sum_(k=1)^(+oo) k^(\lambda - 2)$ la quale converge per
$\lambda < 1$.
2)$p=2 =>u_(\lambda) in L^2(0,1) <=> ||u_(\lambda)||_2<+oo <=> sum_(k=1)^(+oo) int_(1/(k+1))^(1/k)k^(2(\lambda))<+oo$
anche qui con un pò di conti arrivo ad una serie armonica e la ...
Sto riscontrando un pò di difficoltà nel verificare che una funzione appartiene allo spazio $L^oo$...difficoltà che derivano da qualche confusione negli appunti dati dal prof e da mancanza di esercizi in classe su questo argomento, nel senso che abbiamo affrontato bene il caso dell'appartenenza di una funzione agli spazi $L^1$ e $L^2$, ma riscontravamo difficoltà nel dimostrare che appartenesse a $L^oo$. Vorrei capire un pò il ragionamento...
Sia ...
Buongiorno a tutti!
Mi stavo arrovelando su un esercizio sulle convergenze ma con errori e dubbi al seguito.
Sia definita per $k>1$ $ X_k={ ( 1 1/(k+1)<t<=1/k),( 0 otherwise ):} $
$ sum_(k = -infty)^(+ infty) kX_k $
La mi vengono chieste le convergenze: uniforme, puntuale, in $L^(0,1]$,in $S^1$
La successione di funzioni graficamente la vedo, sono a supporto disgiunto e si vanno a schiacciare crescendo in altezza su $0$ all'infinito(una specie di delta).
Per cui la convergenza mi ...
non riesco a capire come procedere per rispondere a questa domanda: la funzione $ f(x)=x^2-3|x|$ è convessa in R?
Non so, è giusto fare riferimento al teorema: " se f è derivabile nell'intervallo aperto I allora f è convessa se,e soltanto se, f' è crescente in I" ?
Ciao a tutti.
sono alle prime equazioni differenziali ma ho un dubbio.
L'esercizio di esempio è il seguente:
$(1+y^2sin2x) -(2ycos^2x)y' = 0$
come potete vedere è molto semplice.
Innanzi tutto verifico che l'eq. diff. è esatta, in questo caso avrò: $d(1+y^2sin2x)/dy = 2ysin2x = d(-2ycos^2x)/dx$.
Bene questo mi torna, è tutto relativamente semplice.
Procedo con la risoluzione per quanto riguarda le eq. esatte.
Ho due possibilità di scelta:
la prima è questa $int_(xo)^(x) f(t,yo) dt + int_(yo)^(y) g(x,t) dt$
la seconda è questa: $int_(xo)^(x) f(t,y) dt + int_(yo)^(y) g(xo,t) dt$
Dove ...
determinare gli integrali u(x) e v(x) rispettivamente delle equazioni:
$y''-4y'+29=0$ $y''+4y'+13y=0$
Tenendo conto che i grafici delle funzioni y=u(x) e y=v(x) sono tangenti nell origine e che $u'=(pi/2)=1$.
Una volta calcolato il risultato delle equazioni omogenee per risolvere l esercizio ragazzi posso supporre che u(0)=0,
v(0)=0.Una condizione mi è data dalla traccia poi, mentre dato che i due grafici sono ...
Salve ragazzi volevo sapere se è corretto risolvere questo esercizio usando questo ragionamento.
Ad esempio considero la funzione:
$f (x,y)$ $=$ $ sen(x^2*y)/(x^2+y^2) $
devo verificare se $f$ è differenziabile nel punto $(0,0)$ .
Uso la definizione di differenziale ed ottengo:
$lim_(h->0)(f(h)-f(0)-df(0))/h$ dove $h=$ $|l,k|$ ed avrò maggiorando:
$ sen(l^2*k)/(l^2+k^2) * 1/( sqrt (l^2+k^2))$ $<=$ $(l^2*k)/(l^2+k^2) * 1/( sqrt (l^2+k^2))$
dove $(l^2*)/(l^2+k^2) $ ...
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