Problema con equazione differenziale.
determinare gli integrali u(x) e v(x) rispettivamente delle equazioni:
$y''-4y'+29=0$ $y''+4y'+13y=0$
Tenendo conto che i grafici delle funzioni y=u(x) e y=v(x) sono tangenti nell origine e che $u'=(pi/2)=1$.
Una volta calcolato il risultato delle equazioni omogenee per risolvere l esercizio ragazzi posso supporre che u(0)=0,
v(0)=0.Una condizione mi è data dalla traccia poi, mentre dato che i due grafici sono entrambi tangenti si può affermare che u'(0)=v'(0) ??? Grazie..
$y''-4y'+29=0$ $y''+4y'+13y=0$
Tenendo conto che i grafici delle funzioni y=u(x) e y=v(x) sono tangenti nell origine e che $u'=(pi/2)=1$.
Una volta calcolato il risultato delle equazioni omogenee per risolvere l esercizio ragazzi posso supporre che u(0)=0,
v(0)=0.Una condizione mi è data dalla traccia poi, mentre dato che i due grafici sono entrambi tangenti si può affermare che u'(0)=v'(0) ??? Grazie..
Risposte
Sì, è corretto quello che dici.
ok grazie ciampax...
un altro esercizio che mi sta causando più di un grattacapo è il seguente:
Dire se esistono soluzioni y(x) dell equazione differenziale $y''+y'=x+cosx$, x in R, tali che:
esiste finito il limite y(x) con $x->oo $
Dire se esistono soluzioni y(x) dell equazione differenziale $y''+y'=x+cosx$, x in R, tali che:
esiste finito il limite y(x) con $x->oo $
Hai calcolato la soluzione generale? A questo punto, calcola il limite e verifica per quale scelta, eventualmente, delle costanti arbitrarie esso risulta finito.
Io ho calcolato il risultato con il metodo di Lagrange.Il risultato a meno di errori è:
$y(x)=c1+c2e^(-x)-x^2/4-senx-1/2(x-1)-(cosx+senx)$. Ma da qui posso concludere che il limite non esiste finito?
$y(x)=c1+c2e^(-x)-x^2/4-senx-1/2(x-1)-(cosx+senx)$. Ma da qui posso concludere che il limite non esiste finito?
o posso far valere $c1=x^2/4+x/2$...?
$c_1,\ c_2$ sono costanti, non funzioni! Pertanto possono solo essere numeri. Se la soluzione generale è quella, puoi immediatamente concludere che il limite ad infinito non esiste a causa della presenza di seno e coseno.
EDIT: la soluzione generale è
[tex]$y=c_1+c_2 e^{-x}-x+\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}(\sin x-\cos x)$[/tex]
EDIT: la soluzione generale è
[tex]$y=c_1+c_2 e^{-x}-x+\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}(\sin x-\cos x)$[/tex]
perchè la soluzione generale è quella?
Perché l'ho calcolata e viene così? 
Probabilmente hai commesso qualche errore.
Probabilmente hai commesso qualche errore.
e ciampax con che metodo hai risolto questa equazione?
Ho posto $z=y'$, risolto l'equazione differenziale del primo ordine $z'+z=x+\cos x$ e integrato questa soluzione. In ogni caso puoi vedere facilmente che la tua è sbagliata: ad esempio, derivando tutta la parte con le funzioni goniometriche e sostituendo nell'equazione dovrebbe venire $\cos x$, mentre nel tuo caso hai $g=-\cos x-2\sin x$ e quindi
$g'=\sin x-2\cos x,\ g''=\cos x+2\sin x$ e quindi $g''+g'=3\sin x-\cos x$
$g'=\sin x-2\cos x,\ g''=\cos x+2\sin x$ e quindi $g''+g'=3\sin x-\cos x$
Ho risolto, Grazie mille ciampax. Se avessi questa equazione differenziale
$y'+y=arctg(e^x)$$ $ $y(0)=alfa$. Dimostrare che il problema di couchy ha una e una sola soluzione.E questo mi è risultato semplice in quanto ho calcolato l'integrale dell equazione e ho poi sostituito nella condizione del problema.Ma poi mi chiede: Determinare i valori di $alfa$ per cui la retta di equazione $y=pi/2$ sia un asintoto orizzontale per il grafico della soluzione.Come devo muovermi in linea teorica?
$y'+y=arctg(e^x)$$ $ $y(0)=alfa$. Dimostrare che il problema di couchy ha una e una sola soluzione.E questo mi è risultato semplice in quanto ho calcolato l'integrale dell equazione e ho poi sostituito nella condizione del problema.Ma poi mi chiede: Determinare i valori di $alfa$ per cui la retta di equazione $y=pi/2$ sia un asintoto orizzontale per il grafico della soluzione.Come devo muovermi in linea teorica?
Conosci la definizione di asintoto orizzontale?
Si ha un asintoto orizzontale quando, al crescere della x la y si avvicina ad un valore ben determinato.
in pratica c'e' l'asintoto se
limx-> f(x) = numero
e l'asintoto sara' la retta orizzontale
y = numero.Ma in questo caso che c'entra alfa?Come devo fa?
in pratica c'e' l'asintoto se
limx-> f(x) = numero
e l'asintoto sara' la retta orizzontale
y = numero.Ma in questo caso che c'entra alfa?Come devo fa?
"MILITO1991":
in pratica c'e' l'asintoto se
limx-> f(x) = numero
Cosa vuol dire sta roba? O.O
Comunque l'esercizio richiede asintoto per $x-> +oo$ oppure per $x-> -oo$ ?
Non è specificato...
Beh ho fatto i conti e ti posso dire che a $+oo$ l'asintoto è sempre quello, per qualsiasi $alpha$.
A $-oo$ invece non mi pare possibile per nessuno.
A $-oo$ invece non mi pare possibile per nessuno.
Ma come devo ragionare quando mi trovo davanti a problemi del genere?
Beh devi scrivere la soluzione $y_alpha (x)$ e vedere un po' come si comporta al variare di $alpha$ a $pmoo$.
Perchè ammette asintoto orizzontale $<=> lim_(x->pmoo) y(x)=$ ?
Perchè ammette asintoto orizzontale $<=> lim_(x->pmoo) y(x)=$ ?
Ammette asistoto orizzontale se e solo se il limite che hai scritto restituisce un valore finito.
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