Equazioni differenziali con termine noto conveniente
Ciao a tutti,
sto cercando di capire il metodo di risoluzione delle equazioni differenziali con termine noto conveniente.
prendiamo in esempio una tipica equazione differenziale: $y^n + a_(n-1)y^(n-1) + .. + a_1y' + a_0y = f(x)$.
L'equazione caratteristica è la seguente: $\lambda^n + a_(n-1)\lambda^(n-1) + .. + a_1\lambda + a_0 = 0$
se $f(x) = P_n(x)e^(\lambda x)$
In questo caso abbiamo due possibilità per la risoluzione:
a) se $\lambda$ non è radice dell'equazione caratteristica la soluzione è data da $M_n (x) e^(\lambda)x$ dove $M_n (x)$ è un polinomio di grado n.
b) se $\lambda$ è radice dell'equazione caratteristica la soluzione è data da: $x^i M_n e^(\lambda)x$
Fatta questa premessa teorica ecco un paio di esercizi che non riesco a capire a pieno. Cioè, il procedimento è abbastanza semplice anche se un po' macchinoso, ma immagino ci voglia solo un po' di esercizio.
quello che non capisco è, ad esempio prendendo il seguente esercizio: $y'' + 2y' + y = xe^(-x)$
In questo caso abbiamo che le radici della eq. caratteristica è $\lambda = -1$ con molteplicità 2.
La radice dell'equazione caratteristica è uguale alla radice del termine noto, quindi procedo con la soluzione particolare.
$y=x^2(Ax+B)e^(-x)$.
E fin qui tutto bene, in quanto questo polinomio è ricavato pari pari dalla definizione.
Prendendo però quest'altro esempio: $y'' - y' = x^2$ le due radici dell'eq. caratteristica sono 0 e 1. La radice del termine noto è anch'essa 0.
Di conseguenza, se considero $x^2 = e^(0x)x^2$ ==> $y=xe^(0x)(Ax^2 + Bx + C)$.
Come mai questa volta è stato utilizzato un polinomio di secondo grado invece del polinomio $(Ax+B)$ ?
Inoltre c'è un terzo esercizio che mi confonde ancora di più le idee:
$y'' - y' = e^x$ In questo caso una delle radici dell'equazione caratteristica, 1, è anche radice del termine noto.
Allora per trovare la soluzione particolare viene scritto il seguente procedimento: $y=xe^xA$. In quest'altro caso quindi viene usato un altro polinomio...
Potete aiutarmi a capire come mai in 3 casi, uguali, sono stati usati 3 polinomi diversi?
grazie
sto cercando di capire il metodo di risoluzione delle equazioni differenziali con termine noto conveniente.
prendiamo in esempio una tipica equazione differenziale: $y^n + a_(n-1)y^(n-1) + .. + a_1y' + a_0y = f(x)$.
L'equazione caratteristica è la seguente: $\lambda^n + a_(n-1)\lambda^(n-1) + .. + a_1\lambda + a_0 = 0$
se $f(x) = P_n(x)e^(\lambda x)$
In questo caso abbiamo due possibilità per la risoluzione:
a) se $\lambda$ non è radice dell'equazione caratteristica la soluzione è data da $M_n (x) e^(\lambda)x$ dove $M_n (x)$ è un polinomio di grado n.
b) se $\lambda$ è radice dell'equazione caratteristica la soluzione è data da: $x^i M_n e^(\lambda)x$
Fatta questa premessa teorica ecco un paio di esercizi che non riesco a capire a pieno. Cioè, il procedimento è abbastanza semplice anche se un po' macchinoso, ma immagino ci voglia solo un po' di esercizio.
quello che non capisco è, ad esempio prendendo il seguente esercizio: $y'' + 2y' + y = xe^(-x)$
In questo caso abbiamo che le radici della eq. caratteristica è $\lambda = -1$ con molteplicità 2.
La radice dell'equazione caratteristica è uguale alla radice del termine noto, quindi procedo con la soluzione particolare.
$y=x^2(Ax+B)e^(-x)$.
E fin qui tutto bene, in quanto questo polinomio è ricavato pari pari dalla definizione.
Prendendo però quest'altro esempio: $y'' - y' = x^2$ le due radici dell'eq. caratteristica sono 0 e 1. La radice del termine noto è anch'essa 0.
Di conseguenza, se considero $x^2 = e^(0x)x^2$ ==> $y=xe^(0x)(Ax^2 + Bx + C)$.
Come mai questa volta è stato utilizzato un polinomio di secondo grado invece del polinomio $(Ax+B)$ ?
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Allora per trovare la soluzione particolare viene scritto il seguente procedimento: $y=xe^xA$. In quest'altro caso quindi viene usato un altro polinomio...
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grazie
Risposte
Ti sarà di aiuto qui
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... mento=1139
Scegli Dispensa e apri : eqdifflin.pdf
della prof. Maluta del Polimi.
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fantastico pdf !!! WOW !! grazie mille
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