Funzione convessa
non riesco a capire come procedere per rispondere a questa domanda: la funzione $ f(x)=x^2-3|x|$ è convessa in R?
Non so, è giusto fare riferimento al teorema: " se f è derivabile nell'intervallo aperto I allora f è convessa se,e soltanto se, f' è crescente in I" ?
Non so, è giusto fare riferimento al teorema: " se f è derivabile nell'intervallo aperto I allora f è convessa se,e soltanto se, f' è crescente in I" ?
Risposte
Bé sì. In realtà se la definisci così
[tex]$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
x^2-3x & & \qquad x\ge 0\\
x^2+3x & & \qquad x<0
\end{array}\right.$[/tex]
basta calcolare le derivate seconde di entrambi i rami e verificare che siano sempre positive.
P.S.: in realtà, si potrebbe fare anche un ragionamento geometrico: quella funzione, valore assoluto a parte, rappresenta una parabola con coefficiente direttore (quello di $x^2$) positivo, e quindi con concavità...
[tex]$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
x^2-3x & & \qquad x\ge 0\\
x^2+3x & & \qquad x<0
\end{array}\right.$[/tex]
basta calcolare le derivate seconde di entrambi i rami e verificare che siano sempre positive.
P.S.: in realtà, si potrebbe fare anche un ragionamento geometrico: quella funzione, valore assoluto a parte, rappresenta una parabola con coefficiente direttore (quello di $x^2$) positivo, e quindi con concavità...
La derivata seconda è una costante, cioè 2, che è sempre positiva, quindi è convessa... no?
Sì.
ok grazie tanto!
Odio rompere le uova nel paniere, ma questa funzione non mi pare proprio convessa...
[asvg]axes("","");
plot("x^2-3abs(x)");[/asvg]
[asvg]axes("","");
plot("x^2-3abs(x)");[/asvg]
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