Ancora successioni
Sia data la successione di funzioni: $f_n(x)=(1+sin(nx))/(1+(n^2x^2-1)^2)$, stabilire se converge uniformemente in $[-1,1]$.
Svolgimento:
Dopo aver capito che $lim_(n->+oo)f_n(x)=0$, vado a studiare la convergenza uniforme, quindi studio il limite:
$lim_(n->+oo)$sup$|f_n(x)|=max|f_n(x)|$. Ora il problema è che se voglio studiare la derivata prima è un bel casino, io avevo pensato a qualche maggiorazione, ma mi chiedevo se era la strada giusta. Volevo sfruttare il fatto che $|sin(nx)|<=1$ e che $1+n^2x^2<=1+n^2$. La successione comunque dovrebbe essere sempre positiva e volendo dato che siamo in un compatto lo trovo il massimo che mi fa dimostrare che la successione converge uniformemente, ma volevo sapere se si poteva trovare proprio esplicitamente.
Svolgimento:
Dopo aver capito che $lim_(n->+oo)f_n(x)=0$, vado a studiare la convergenza uniforme, quindi studio il limite:
$lim_(n->+oo)$sup$|f_n(x)|=max|f_n(x)|$. Ora il problema è che se voglio studiare la derivata prima è un bel casino, io avevo pensato a qualche maggiorazione, ma mi chiedevo se era la strada giusta. Volevo sfruttare il fatto che $|sin(nx)|<=1$ e che $1+n^2x^2<=1+n^2$. La successione comunque dovrebbe essere sempre positiva e volendo dato che siamo in un compatto lo trovo il massimo che mi fa dimostrare che la successione converge uniformemente, ma volevo sapere se si poteva trovare proprio esplicitamente.
Risposte
Pero' $f_n(0)$ quanto fa?
Fa $1/2$, come mai me lo chiedi!?
Dunque $lim_(n->+oo) f_n(0)$ non è $0$ ma $1/2$
Allora mettiamo a posto le cose.
L'esercizio che sto svolgendo è diviso in punti.
1)Trovare il limite puntuale della successione e facendo il limite ottengo $lim_(n->+oo)f_n(x)=0$
2)Stabilire se converge uniformemente in $[-1,1]$
Svolgimento:
Per svolgere questo punto, dovrei fare qualche osservazione tipo che $lim_(n->+oo)f_n(0)=1/2$? e quindi concludere che non c'è convergenza uniforme?
Quello a cui io sono interessato è un metodo per arrivare alla risposta, utilizzando un certo tipo di ragionamento. Cioè se, eventualmente, durante l'esame non noto che $lim_(n->+oo)f_n(0)=1/2 !=0$ come faccio a dare una risposta esaustiva?
L'esercizio che sto svolgendo è diviso in punti.
1)Trovare il limite puntuale della successione e facendo il limite ottengo $lim_(n->+oo)f_n(x)=0$
2)Stabilire se converge uniformemente in $[-1,1]$
Svolgimento:
Per svolgere questo punto, dovrei fare qualche osservazione tipo che $lim_(n->+oo)f_n(0)=1/2$? e quindi concludere che non c'è convergenza uniforme?
Quello a cui io sono interessato è un metodo per arrivare alla risposta, utilizzando un certo tipo di ragionamento. Cioè se, eventualmente, durante l'esame non noto che $lim_(n->+oo)f_n(0)=1/2 !=0$ come faccio a dare una risposta esaustiva?
Il limite puntuale di una successione di funzioni è una funzione, in questo caso la funzione limite vale $1/2$ nell'origine e $0$ altrove.
Per il punto 2 c'è un teorema che ti dice che data ${f_n(x)}$ una successione di funzioni continue in un certo punto $x_0$ del loro insieme di definizione $E$, se la convergenza è uniforme su $E$ la funzione limite è continua.
In questo caso hai che ogni $f_n$ è continua, ma..
Per il punto 2 c'è un teorema che ti dice che data ${f_n(x)}$ una successione di funzioni continue in un certo punto $x_0$ del loro insieme di definizione $E$, se la convergenza è uniforme su $E$ la funzione limite è continua.
In questo caso hai che ogni $f_n$ è continua, ma..
Quindi posso dire che per $x in [-1,1]$ non c'è convergenza uniforme in quanto $f_n$ tende ad una funzione discontinua. Giusto!?
Si.
Anche se devi specificare a cosa, a quale funzione. Si dice che la successione di funzioni converge uniformemente a un'altra funzione.
Nel tuo caso $f_n$ non converge uniformemente a 0.
Anche se devi specificare a cosa, a quale funzione. Si dice che la successione di funzioni converge uniformemente a un'altra funzione.
Nel tuo caso $f_n$ non converge uniformemente a 0.
Si si...allora grazie per le osservazioni.
Ma in generale come posso accorgermi di questa cosa? Cioè c'è un modo per capirlo quando ci sono successioni così complicate su cui è quasi impossibile fare dei calcoli?! tipo lo studio della monotonia? oppure si va ad intuito?
Ma in generale come posso accorgermi di questa cosa? Cioè c'è un modo per capirlo quando ci sono successioni così complicate su cui è quasi impossibile fare dei calcoli?! tipo lo studio della monotonia? oppure si va ad intuito?
"Lorin":
Si si...allora grazie per le osservazioni.
Ma in generale come posso accorgermi di questa cosa? Cioè c'è un modo per capirlo quando ci sono successioni così complicate su cui è quasi impossibile fare dei calcoli?! tipo lo studio della monotonia? oppure si va ad intuito?
Ehhh..... si va un po' ad intuito, ma guardando attentamente tra le pieghe dei simboli.
In quella equazione vedi che n è sempre moltiplicato per x. Per cui devi guardare quei valori di x che "causano problemi", i valori "strani" diciamo così.
Se x=0 vedi che n è ininfluente, sparisce, per cui un rapido controllo va fatto.
Chiaro che se dovessi controllare "a mano" 100 valori particolari, allora l'esercizio perderebbe un po' il senso (che è quello di fare pratica). Però qualche valore sospetto va sempre controllato e tenuto d'occhio.
Ho capito! Diciamo che mi attengo ai classici valori "infami" 
. Ma questo immagino sia un caso particolare, perchè di solito quando svolgo questi esercizi posso gestire bene la derivata prima e quindi ricavare eventualmente il valore dell'estremo superiore. Grazie ancora!
. Ma questo immagino sia un caso particolare, perchè di solito quando svolgo questi esercizi posso gestire bene la derivata prima e quindi ricavare eventualmente il valore dell'estremo superiore. Grazie ancora!
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