Operatore aggiunto, nucleo, ortogonale e chiusura
Ciao a tutti.
Sto studiando il teorema spettrale ma non riesco a dimostrare una cosa.
Sia \( H \) uno spazio di Hilbert e sia \( T \in L(H) \) (gli operatori lineari continui definiti su tutto \( H \) ).
Sia \( T^\ast \) l'operatore aggiunto di \( T \), cioè quell'operatore tale che, \( \forall x,y \in H,= \).
Allora \( \overline{ R(T^\ast) } = (ker T) ^ \bot \).
Sono riuscito a dimostrare senza problemi che \( \overline{ R(T^\ast) } \subseteq (ker T) ^ \bot \).
Il problema è l'inclusione inversa o, meglio, cercare di dimostrare che se \( \exists z \in (ker T) ^ \bot \backslash \overline{ R(T^\ast) } \) si arriva ad un assurdo.
Qualcuno sa darmi qualche idea?
Grazie mille.
Sto studiando il teorema spettrale ma non riesco a dimostrare una cosa.
Sia \( H \) uno spazio di Hilbert e sia \( T \in L(H) \) (gli operatori lineari continui definiti su tutto \( H \) ).
Sia \( T^\ast \) l'operatore aggiunto di \( T \), cioè quell'operatore tale che, \( \forall x,y \in H,
Allora \( \overline{ R(T^\ast) } = (ker T) ^ \bot \).
Sono riuscito a dimostrare senza problemi che \( \overline{ R(T^\ast) } \subseteq (ker T) ^ \bot \).
Il problema è l'inclusione inversa o, meglio, cercare di dimostrare che se \( \exists z \in (ker T) ^ \bot \backslash \overline{ R(T^\ast) } \) si arriva ad un assurdo.
Qualcuno sa darmi qualche idea?
Grazie mille.
Risposte
Penso di aver risolto grazie al Giaquinta Modica, Analisi matematica 3, Strutture lineari e metriche, continuità.
A pagina 341 trovo la soluzione del mio problema.
Si ha \( y \in R(T^\ast )^\bot \) se e solo se \( \forall x \in H, = 0 \) il che equivale a dire, poiché \( \forall x,y \in H, = \), che \( Ty=0 \) cioè che \( y \in KerT \).
Quindi \(R(T^\ast )^\bot = KerT \).
Sfruttando il lemma sottostante si ha
\( \overline { R(T^\ast ) } =( R(T^\ast )^\bot ) ^\bot = ( Ker T ) ^\bot \).
Lemma (esercizio 2.11 pagina 334 del suddetto libro)
Se \( V \) è un sottospazio vettoriale di \( H \), con \( H \) spazio di Hilbert, allora \( (V^\bot ) ^\bot = \overline V \).
Dimostrazione
Comincio col dimostrare che \( (\overline{V} ) ^\bot = V ^\bot \)
E' evidente che \( (\overline{V} ) ^\bot \subseteq V ^\bot \).
Sia ora \( x \in V^\bot \); sia \( z \in \overline {V} \): esiste una successione \( \{z_n \}_n \subseteq V \) tale che \( z_n \to z \).
Allora \( \forall n,=0 \) quindi, grazie alla continuità del prodotto scalare, \( =0 \) perciò \( z \in (\overline{V} ) ^\bot \).
Per un noto teorema si ha \( H = \overline{V} \bigoplus (\overline{V})^\bot = \overline{V} \bigoplus V^\bot \)
Poiché vale anche \( H = V^\bot \bigoplus ( V^\bot )^\bot \) allora, per l'unicità della decomposizione di uno spazio di Hilbert nella somma diretta di un suo sottospazio chiuso e del corrispondente ortogonale, si ha \( \overline{V} = ( V^\bot )^\bot \).
Spero sia tutto corretto comunque chiunque abbia qualche osservazione da fare è il benvenuto.
A pagina 341 trovo la soluzione del mio problema.
Si ha \( y \in R(T^\ast )^\bot \) se e solo se \( \forall x \in H,
Quindi \(R(T^\ast )^\bot = KerT \).
Sfruttando il lemma sottostante si ha
\( \overline { R(T^\ast ) } =( R(T^\ast )^\bot ) ^\bot = ( Ker T ) ^\bot \).
Lemma (esercizio 2.11 pagina 334 del suddetto libro)
Se \( V \) è un sottospazio vettoriale di \( H \), con \( H \) spazio di Hilbert, allora \( (V^\bot ) ^\bot = \overline V \).
Dimostrazione
Comincio col dimostrare che \( (\overline{V} ) ^\bot = V ^\bot \)
E' evidente che \( (\overline{V} ) ^\bot \subseteq V ^\bot \).
Sia ora \( x \in V^\bot \); sia \( z \in \overline {V} \): esiste una successione \( \{z_n \}_n \subseteq V \) tale che \( z_n \to z \).
Allora \( \forall n,
Per un noto teorema si ha \( H = \overline{V} \bigoplus (\overline{V})^\bot = \overline{V} \bigoplus V^\bot \)
Poiché vale anche \( H = V^\bot \bigoplus ( V^\bot )^\bot \) allora, per l'unicità della decomposizione di uno spazio di Hilbert nella somma diretta di un suo sottospazio chiuso e del corrispondente ortogonale, si ha \( \overline{V} = ( V^\bot )^\bot \).
Spero sia tutto corretto comunque chiunque abbia qualche osservazione da fare è il benvenuto.
Giusto giusto. In queste relazioni di ortogonalità nucleo - immagine, parti sempre da
\[R(T^\star)^\bot=N(T)\]
che è la relazione naturale e facile da verificare. Tutte le altre discendono da questa mediante passaggi al complemento ortogonale.
\[R(T^\star)^\bot=N(T)\]
che è la relazione naturale e facile da verificare. Tutte le altre discendono da questa mediante passaggi al complemento ortogonale.
Grazie come al solito, dissonance! 
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