Analisi matematica di base
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Ciao a tutti, quest'oggi ho un problema con qualcosa che non avevo mai incontrato prima, dall'alto della mia inesperienza
Il mio professore ha provato a spiegarci un limite tendente a infinito di una sommatoria.
Tra i suoi esami, sono riuscito a trovare questa:
$lim_(n->infty)sum_{k=1}^{n} tan((k \pi)/(2n))$
Ho capito che ovviamente devo ricondurla ad un integrale grazie al teorema di Riemann, ma non sapendo come procedere ho provato a fare alcune considerazioni qualitative. Ho provato a considerare la sommatoria chiusa ...
Come posso massimizzare la seguente funzione? 2*sin(x)+4*x*cos(x)-x^2*sin^2(x)??? In generale quale "tecnica" bisogna utilizzare quando bisogna massimizzare una funzione?
Definizione: sia $x=(x_1,x_2,...,x_n) in RR^n$ un vettore. Si definisce NORMA di $x$ il numero reale positivo:
$||<x,x>||=sqrt(<x,x>)=sqrt(sum_{i=1}^n x^2_i)$
Nel caso di $x in RR^3$ la norma così definita corrisponde all'ordinaria definizione di lunghezza di un vettore.
Ricordando lo studio del campo dei numeri complessi $CC$ e la definizione di modulo di un numero complesso $|z|=sqrt(N)=sqrt(a^2+b^2)$ dove $z=a+i*b$, il modulo in effetti determinava la distanza del punto complesso ...
Come studiarla? La funzione è dispari quindi simmetrica rispetto all'origine:
$f(-x)=sin(-2x)+x=-sin(2x)+x=-(sin(2x)-x)=-f(x)$
Non capisco il segno:
$f(x)=sin(2x)-x$
$f(x)>=0 \Leftrightarrow sin(2x)>=x$
Mentre per la monotonia:
$f'(x)=2cos(2x)-1$
$f'(x)>=0 \Leftrightarrow 2cos(2x)-1>=0 \Rightarrow cos(2x)>=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow -\frac{\pi}{12}+k\pi<=x<=\frac{\pi}{12}+k\pi$ con $x \in \mathbb{Z}$
mentre quando $k$ è esterno a tale intervallo, vale a dire $\frac{\pi}{12}+k\pi<x<-\frac{\pi}{12}+k\pi$ la funzione è monotòna decrescente. E' corretto?
Calcolare
$\lim_{x \to 0}(\coshx-cosx-x^2)/(x^5)$
Ho fatto:
$\lim_{x \to 0}(1+(x^2)/(2)+(x^4)/(4!)+(x^6)/(6!)-(1-(x^2)/(2)+(x^4)/(4!)-(x^6)/(6!))-x^2+o(x^6))/(x^5)$
$\lim_{x \to 0}((2x^6)/(6!)+o(x^6))/(x^5) = 0$
E' corretto ?
Lo chiedo perchè andando a plottare la funzione, "vicino" all'origine si vedono delle oscillazioni, ma non capisco se è un problema numerico del PC o se sono reali.
Tra le risposte multiple c'è sia zero che "non esiste".
Grazie
Riservo ancora qualche dubbio sullo stabilire il carattere di una serie, ecco le serie:
1 - [tex]\sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{n-3}{(1+\frac{3}{n})^{n^2}}[/tex]
2 - [tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\sqrt{n^2+logn}-\sqrt{n^2-logn}[/tex]
Possibili risoluzioni:
1 - Presa la successione [tex]a_{n}[/tex] argomento della serie in oggetto calcolo il limite di tale successione per [tex]n[/tex] che tende a [tex]+\infty[/tex]:
[tex]\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n-3}{(1+\frac{3}{n})^{n^2}}=\lim_{n ...
Salve, devo calcolare l'integrale doppio della funzione $z=xy$ sul dominio $A={(x,y)inRR^2:0<=x<=1,x^2<=y<=1+x}$. L'insieme $A$ scritto in questo modo è del tipo y-semplice, e calcolare l'integrale su $A$ y-semplice è molto facile, integrale che è pari a $5/8$. I miei problemi, invece, stanno nello scrivere l'insieme $A$ in modalità x-semplice.
I ragionamenti che ho fatto sono questi.
Considero la funzione $y=1+x$, dove $x$ è ...
si considerino il campo di vettori $F(x,y)=(-y,x)$ in R^2 e l'aperto $omega={(x,y) in R^2 | x^2+y^2<1 , x+y<1}$. calcolare il flusso del campo F uscente da $omega$ e mostrare che vale il teorema della divergenza.
allora il teorema della divergenza afferma che dato un aperto lipschitziano $omega$ in $R^n$ e F un campo di vettori di classe $C^1(baromega)$ allora
$\int_{omega} $div$ F dmu_n=\int_{delomega}Fv d H^(n-1)$
dove v è il vettore normale al bordo , lungo 1 e diretto verso l'esterno.
allora io ...
Salve a tutti,
devo calcolare il volume di un solido formato da queste 2 equazioni:
$\z= x^2+y^2$ ( paraboloide)
$\z=2x+2y+3$ (piano)
Il mio dubbio sta nei limiti di integrazione, poichè alla fine l'integrale in dx è troppo complesso.
$\int_{1-sqrt{5}}^{1+sqrt{5}} dx$ $\int_{1-sqrt{5-(x-1)^2}}^{1+sqrt{5-(x-1)^2}} dy$ $\int_{0}^{2x+2y+3} dz$
Grazie mille per chi mi da una mano!
Integrando per parti un integrale di Laplace $I(x)=int_{a}^{b} f(t) e^(x phi(t))dt$ si ottiene $I(x)=[1/x (f(b))/(phi ' (b)) e^(x phi(b)) - 1/x (f(a))/(phi ' (a)) e^(x phi(a))] - 1/x int_{a}^{b} d/(dt) ((f(t))/(phi ' (t))) e^(x phi(t)) dt$.
Vorrei dimostrare che, se $phi ' (t) != 0$ per $t in [a,b]$ e almeno uno tra $f(a)$ ed $f(b)$ è non nullo, l'integrale a secondo membro è asintoticamente trascurabile rispetto al termine di sinistra, per $x -> +infty$.
Nel libro che uso suggerisce di suddividere l'intervallo d'integrazione in tanti piccoli intervalli e sovrastimare ognuno di questi, ma non riesco a ...
Salve, ho una semicirconferenza la cui rappresentazione analitica è:
${(x,y)inRR^2:x^2+y^2-4x=-3,y>=0}$.
Ora, questa semicirconferenza è anche una funzione ed io volevo sapere se il procedimento che ho fatto per arrivare all'espressione analitica di tale funzione è corretto.
Ho considerato il sistema $x^2+y^2-4x=-3,y>=0$, che è uguale al sistema $y^2=4x-x^2-3,y>=0$. A questo punto ho fatto la radice quadrata di entrambi i membri della prima equazione, ottenendo il sistema $|y|=sqrt(4x-x^2-3),y>=0$. Ora, sfruttando la ...
Ciao a tutti ragazzi, sono qui per chiedervi un aiuto riguardo al calcolo di questo volume. Dovrei calcolare il volume di questo solido definito cosi:
$ T= { ( x,y,z) in RR^3 | x^2+y^2+z^2-16 <=0 , y>=sqrt(3)*|x|, z>=0 } $
$ x^2+y^2+z^2-16 <=0 $ è la sfera interna di raggio 4
Io ho usato le coordinate sferiche per calcolare il volume di questo solido. Volevo sapere se si potevano usare anche le coordinate cilindriche. Se si come devo fare?
Ponendo
$x=\phi*cos(theta) $
$y=\phi*sin(theta) $
Mi esce una cosa un po strana. Grazie a tutti.
Salve a tutti non riesco a capire bene il seguente problema:
Trovare gli eventuali punti di minimo e di massimo assoluti della funzione
$f(x,y) = y*sqrt(|x^2+y|)$
nel dominio $T={(x,y) in R^2:x in [-1,1], -x^2<=y<=x^2}$
eseguo le derivate rispetto a $x$ e $y$ ed ottengo:
che i punti critici si trovano in $(x,0)$ e $(x,-x^2)$
Ora rispetto a dominio $T$ osservo che la funzione è crescente per $y>0$ pertanto dovrei avere due punti di massimo in ...
salve
sto affrontando il tema dell'ordine di infinitesimo e quando trovo sinx, 1-cosx, log(1+x), ecc riesco a risolvere facilmente ma quando trovo funzioni del genere mi blocco
$ lim_(x -> 0) sqrt(x^(4)+2) -sqrt(x^(3)+2) $
in questo caso procedo con la razionalizzazione in modo da non trovarmi più 0?
e poi come continuo?
Dimostrare che:
$lim_(n->infty)sum_{k=0}^{n}e^{-n}{n^k}/{k!}=1/2$
Io presumo di conoscere una dimostrazione che si basa su alcuni teoremi di teoria delle probabilità; sarei curioso di sapere se esistono altri modi per dimostrare questa convergenza.
Ciao.
Domande teoriche
Miglior risposta
Ci sono dei concetti teorici che mi sfuggono perchè non riesco a capire le seguenti cose:
1) Il piano tangente ad una superficie non esiste solo se il gradiente della funzione è un vettore nullo, giusto? Quindi perchè nel caso f(x,y)= 3x+2y+1 dove il gradiente è (3,2,0) il libro mi dà come risposta "non esiste"? non dovrebbe essere (calcolato in (-1,2,2)) z=3(x+1)+2(y-2)+2?
2) Per i limiti a 2 variabili, ogni volta che li calcolo imponendo la restrinzione y=mx devo SEMPRE calcolarla ...
Buona sera a tutti.
Ho un problemino nel realizzare l'equazione complessa (Z/Z negato)^3 = 1
Spero in una spiegazione semplice e se possibile con i risultati, io ho già realizzato l'esercizio ma sinceramente mi sembra sbagliato.
Grazie a tutti in anticipo
Cercherò di essere ermetico: non riesco a trovare una fonte qualsiasi (compresibile) che spieghi come affrontare esercizi di questo tipo: "Trovare lo sviluppo in serie di Laurent attorno a 0 e nelle regioni indicate, delle seguenti funzioni..." ve le posto
a) sen (1/z) in 0 < |z| < +inf
b) z/(z+1) in 0 < IzI < 1 e in 1 < |z| < +inf
c) 1/ [z(z+1)] in 0 < |z| < 1
d) e^z / z^2 (sarebbe "e" elevato alla zeta fratto zeta quadro XD) in 0 < |z| < ...
Sto cercando gli integrali generali per l'equazione differenziale del tipo:
$a((delz)/(delx))^2 + b((delz)/(dely))^2 = c$
che come soluzioni ho trovato le seguenti espressioni:
$z^2=c(x^2/a+y^2/b)+k$
oppure:
$+- x * sqrt((c-bk_2^2)/a)+k_2y+k_1$
esistono altre forme algebriche?
esiste un metodo per verificare che non ci siano ulteriori soluzioni?
Grazie
Ciao!!
ho questo esercizio:
Siano $f,alpha,beta$ appart. $C^1 (R^2,R)$ e si definisca $h(x,y,z)= alpha(x,z)f(alpha(x,x), beta(y,y))$
Calcolare $gradh(x,y,z)$
non riesco a non confondermi tra tutte queste funzioni e variabili
Il $gradh$ significa $((dh)/(dx), (dh)/(dy), (dh)/(dz))$ quindi devo trovare queste tre derivate per avere il gradiente:
ora io non riesco a separare le varie funzioni per derivarle; io ci provo, ma di sicuro sbaglio (quindi correggetemi )
$(dh)/(dx)(x,y,z)= alpha'(x,z)(1,0)f(alpha(x,x), beta(y,y)) + alpha(x,z)f(alpha(x,x), beta(y,y))(alpha'(x,x),0)(1,1)$
è ...
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