Convergenza serie

Howard_Wolowitz
Riservo ancora qualche dubbio sullo stabilire il carattere di una serie, ecco le serie:
1 - [tex]\sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{n-3}{(1+\frac{3}{n})^{n^2}}[/tex]
2 - [tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\sqrt{n^2+logn}-\sqrt{n^2-logn}[/tex]
Possibili risoluzioni:
1 - Presa la successione [tex]a_{n}[/tex] argomento della serie in oggetto calcolo il limite di tale successione per [tex]n[/tex] che tende a [tex]+\infty[/tex]:
[tex]\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n-3}{(1+\frac{3}{n})^{n^2}}=\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n-3}{(1+\frac{3}{n})^{\frac{n}{3}3n}}=\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{n-3}{e^{3n}}=0[/tex]
Essendo verificata la condizione necessaria ma non sufficiente alla convergenza della serie data provo con l'utilizzo del criterio del rapporto:
[tex]\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{(n+1)-3}{(1+\frac{3}{n+1})^{(n+1)^2}}\frac{(1+\frac{3}{n})^{n^2}}{n-3}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{n-2}{n-3}\frac{(1+\frac{3}{n})^{\frac{3}{n}3n}}{(1+\frac{3}{n+1})^{\frac{n+1}{3}3(n+1)}}=\frac{1}{e^3}[/tex] ed essendo il limite di tale rapporto maggiore di 0 e minore di 1 deduco che la serie converge.

2 - Inizio con il razionalizzare l'argomento della serie [tex]a_{n}[/tex]:
[tex]\sqrt{n^2+logn}-\sqrt{n^2-logn}=\frac{n^2+logn-n^2+logn}{\sqrt{n^2+logn}+\sqrt{n^2-logn}}=\frac{2logn}{n(\sqrt{1+\frac{logn}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{logn}{n^2}})}[/tex] trovo quindi che la successione [tex]a_{n}[/tex] ha come successione ad essa asintotica la successione [tex]b_{n}=\frac{2logn}{n}[/tex]. Se applico a tale serie il criterio del rapporto ottengo che [tex]\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n}{n+1}\frac{log (n+1)}{log n}=1[/tex] ed essendo tale limite uguale ad 1 la serie data diverge.
Ho qualche dubbio sul procedimento da me adottato, soprattutto sullla seconda serie, sapete indicarmi se è corretto o meno?
Grazie e buona serata a tutti!

Risposte
Seneca1
"Howard_Wolowitz":
[tex]\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n-3}{(1+\frac{3}{n})^{n^2}}=\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n-3}{(1+\frac{3}{n})^{\frac{n}{3}3n}}=\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{n-3}{e^{3n}}=0[/tex]


Non puoi mandare al limite solo un pezzo del denominatore...

Seneca1
"Howard_Wolowitz":
Se applico a tale serie il criterio del rapporto [...] ed essendo tale limite uguale ad 1 la serie data diverge.


Il criterio del rapporto non dà risposta se il limite è $1$. Perché dici che diverge?

EDIT: In realtà è molto più semplice di quel che credi: $log(n) >= 1$ da un certo indice $n$ in poi, quindi:

$ 1/n <= log(n)/n$ e per il criterio del confronto...

ciampax
"Seneca":
[quote="Howard_Wolowitz"] [tex]\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n-3}{(1+\frac{3}{n})^{n^2}}=\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n-3}{(1+\frac{3}{n})^{\frac{n}{3}3n}}=\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{n-3}{e^{3n}}=0[/tex]


Non puoi mandare al limite solo un pezzo del denominatore...[/quote]

In realtà in questo caso può farlo perché a denominatore ha una successione crescente.

Ovviamente Holowitz sul secondo hai sbagliato (come affermava Seneca) perché hai come limite 1. Ti consiglio di ragionare in qualche altro modo (criterio di condensazione?)

Howard_Wolowitz
Grazie, effettivamente prima avevo pensato anche io alla soluzione che prevede il confronto di [tex]\frac{log n}{n}[/tex] con [tex]\frac{1}{n}[/tex] quale serie minorante, e quindi divergente secondo il criterio del confronto...
Mmh, meglio con il confronto in quanto non ho fatto Cauchy e lo vogliono risolto con uno degli altri.

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