Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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Ciao a tutti!
Non riesco a provare quanto segue:
Siano $f_k, f in L^1(RR^n)$ tali che $ f_k -> f $ quasi dappertutto su $RR^n$ e $ \int_(RR^n) |f_k|dx -> int_(RR^n) |f|dx$ allora $int_(RR^n) |f_k-f|dx -> 0 $.
Ho pensato di usare il teorema di convergenza dominata, ma non riesco effettivamente a dominare $|f_k-f|$. Idee?
Grazie mille!
Salve, l esercizio è il seguente:
Sia A = ]0,1[x]0,1[ e sia $f:A rarr RR$ una funzione differenziabile e tale che $|\gradf(x)| <= 1$ per ogni $x \epsilon A$. Esistono $x, y \epsilon A$ tali che $|f(x) - f(y)| > 2$? Giustificare la risposta.
Allora io ho pensato, che per il teorema del valor medio
$EE x,y \epsilon A, EE \xi \epsilon [x,y]$ tale che $|f(x) - f(y)| <= |\nablaf(\xi)||x - y|$
Dato che il valore $\xi$ è compreso fra x e y, allora anche $|\nablaf(x)| <= 1$ e dato che $|x - y|$ rappresenta la distanza tra i ...
Salve, sto studiando sul testo di Analisi 2 Pagani-Salsa-Bramanti la parte riguardante le serie di funzioni e di Fourier. Il testo introduce tali argomenti partendo direttamente dalle serie di funzioni, senza minimamente accennare alle successioni di funzioni. Volevo sapere: per studiare le serie di funzioni è necessario conoscere le successioni di funzioni?
Perchè il testo non le cita?
Sto studiando una dimostrazione e non riesco a capire un passaggio.
Devo trovare quanto vale l'integrale:
\[
\int_{0}^{\infty} \Psi (\theta) \frac{\sin(T \theta)}{\theta} d\theta
\]
dove \(\Psi (\theta)=e^{- \alpha \theta} f(\theta + t)\) con \(f\) una funzione di ordine esponenziale.
Fanno vedere che è una funzione che posso calcolare solamente tra \(\delta\) e \(X\) con questi rispettivamente abbastanza piccolo e grande.
Fanno vedere poi, integrando per parti, che l'integrale è bounded.
Poi ...
Salve a tutti ho il seguente esercizio, vorrei capire con voi se e dove faccio errori.
Dopo aver determinato l'insieme $X$ di esistenza della funzione:
$f(x,y) = log(x^2 +y^2-2x-2y+2)$
trovare:
i) l'insieme degli zeri di $f$;
ii) il sottinsieme di $X$ dove $f$ è positiva(negativa);
iii) gli estremi superiore ed inferiore di $f$;
iv) gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi di $f$;
v) i punti di massimo e di ...
Ciao a tutti il limite è questo: $lim_(x->-∞) x*log((x+4)/(x+2))$.
Ho provato con il criterio del confronto asintotico ma mi viene la forma $-∞*0$.
Qualcuno mi può aiutare?
Grazie
Ciao a tutti ragazzi...ho la seguente funzione $ f(x,y) = 3xy-x^3-y^3$. Mi si chiede di verificare se esistono massimo e minimo assoluti in $R^2$. Ho due domande:
1) i punti di massimo e minimo assoluti in $R^2$ sono i punti dove il gradiente non esiste (ovvero i punti singolari)?
2) se sono i punti che ho detto nella domanda 1), vasta verificare che il gradiente esiste sempre per asserire che non ci sono massimo e minimo assoluti (anche se mi pare una cavolata quella che ho ...
Ciao a tutti,
premetto che sono molto a digiuno di trigonometria, ma sto cercando di compensare le lacune
con dispense, libri e videolezioni (del proff. Gobbino). Sto cercando di iniziare con qualche dominio di
funzione, ma mentre alcune riescono abbastanza facili con un po' di impegno, altre mi rimangono davvero difficili.
Riporto qui di seguito una funzione di cui devo calcolare il dominio:
$f(x)=sqrt(sqrt(3)cosx+3senx)$
Il campo di esistenza è tutto l'argomento $>=0$.
Quindi ...
Un saluto a tutti,
risolvendo l'integrale riportato di seguito ho assistito a dei passaggi (fatti dal libro di testo) di cui non ero proprio a conoscenza..
$1/\pi int_(\-pi)^(\pi) x cos k x dx = 1/\pi int_(\-pi)^(\pi) x *d(sin k x)/k $
Cos'è successo nel secondo passaggio ? Non ho mai assistito a una cosa del genere..e pure la teoria degli integrali l'ho spulciata per bene nel mio libro..
Ciao, amici!
Riguardo la relazione tra concavità e derivata di una funzione, trovo nei testi varie implicazioni, ma non sempre doppie implicazioni. Sarei giunto alla conclusione che, su un dato intervallo:
-f è strettamente convessa se e solo se f' è strettamente crescente;
-f è strettamente concava se e solo se f' è strettamente decrescente;
-f è convessa in senso lato se e solo se f' è crescente in senso lato;
-f è concava in senso lato se e solo se f' è decrescente in senso ...
Salve a tutti =)
Calcolando il limite di questa successione per n che tende ad infinito :
$ (2^{n}-4^{n})/(3^{n}-n!) $
mi imbatto nelle forme indeterminate infinito meno infinito e infinito / infinito che risolvo cosi
$ (4^{n}(-1+(2^{n})/(4^{n})))/(n!(-1+3^{n}/(n!))) ==> (-4^{n})/(-n!)==> (-oo)/(-oo) $
tramite la stima asintotica so che n! tende ad infinito più velocemente che di 4^n ... quindi il limite tende a O....
quindi è possibile anche non risolvere lo forma indeterminata ricorrendo alla stima asintotica ?
vorrei sapere se questo metodo di risoluzione ...
Buongiorno, avrei una domanda da porvi a cui fino ad ora non sono riuscita a trovare una soluzione...
Se ho due funzioni che so che dopo un n dato mi convergeranno ad uno stesso valore es. 3 come faccio a determinare quale delle due vi converge più rapidamente?
vi ringrazio in anticipo,
Giulia
Sia [tex]a_n \geq 0[/tex] e si supponga convergente la serie corrispondente. Si denoti con \(\displaystyle S \) la somma. Si dimostri che anche la serie degli [tex]a^2_n[/tex] converge e che la sua somma è [tex]\leq S^2[/tex].
Ciao a tutti
ho la seguente equazione differenziale di cui trovare la soluzione
[tex]y' (x)=\sinh(x) (y^{2} (x)-1)[/tex]
che riscrivo come
[tex]y' (x)= y^{2} (x)\sinh(x)-\sinh(x)[/tex]
secondo voi ha senso risolverla usando il metodo di sovrapposizione ovvero studiano due diverse equazioni differenziali?
[tex]y'_{1} (x)= y_{1}^{2} (x)\sinh(x)[/tex]
e
[tex]y'_{2} (x)= -\sinh(x)[/tex]
risolvendo la prima come equazione differenziale a variabili separabili e la seconda con integrazione ...
Ciao a tutti. Sto leggendo un articolo, in cui la soluzione del problema affrontato è data dal seguente sistema:
$({lambda_1(1+e^x)}/{e^x}-{1}/{lambda_0(lambda_0-1)})f'(x)-{f(x)[lambda_0(1+e^x)-1]}/{lambda_0(lambda_0-1)(1+e^x)}+{e^{lambda_0x}}/{1+e^x}(int_x^{A}{f(y)(1+e^y)}/{e^{lambda_0y}}dy+{e^{-lambda_0A}}/{lambda_0})=$
$=-{e^x}/{1+e^x}$ se $x<A$
$f(x)=1/{1+e^x}$ se $x>=A$
La prima è un'equazione integro-differenziale, dove $lambda_1$, $lambda_0$ e $A$ sono delle costanti.
L'articolo fornisce poi la soluzione $f(x)$ di questo sistema, dicendo che può essere facilmente calcolata, senza spiegare però il ...
come si fa a dimostrare, che per esempio, la funzione seno è 1-lipschitziana?
Allora per la definizione, ho che $sin: RR -> [-1,1] $ è 1-lipschitziana se e solo se $AA x,y in RR ||sin(x) -sin(y)|| < ||x- y|| $ . considero $RR$ munito della norma $oo$, quindi $"sup"_{x,y in RR} |sin(x) -sin(y)| < "sup"_{x,y in RR} |x-y|$. è come faccio a dimostrare che questo è vero?
Salve!
Devo calcolare questo integrale definito
$int_-infty^infty((3z^2-1)/((9z^2+1)(1+z^2)))$
che si calcola usando il metodo dei residui.
Troviamo gli zeri del denominatore -> $z_0 = +-j; z_1 +-j/3$
Nel calcolo degli integrali siamo interessati solo agli zeri con $Im(z)>0$, quindi dovrò fare la somma dei residui in $j,j/3$
$int_-infty^infty((3z^2-1)/((9z^2+1)(1+z^2)))=2*PI*j Re_f(j)+Re_f(j/3)$
Sono poli di primo ordine (infatti $3z^2-1 = 0 -> 3z^2=-1 z=+-j/sqrt(3)$), non ci sono 0 apparenti.
Quindi posso usare la formula secondo la quale $R_f(z_0) =( A(z_0))/(B'(z_0))$
Derivo il ...
Ciao ragazzi, volevo proporvi un esercizio riguardante le derivate direzionali e volevo sapere se il mio ragionamento era corretto. Dunque, data la funzione: $g(x,y)=(x^2(y-1))^(1/3) + 1$ si vuole calcolare $D_vg(0,1)$ per ogni direzione $v \in R^2$.
Ora, in un altro posto abbiamo stabilito che tale funzione non è differenziabile perchè applicando il metodo delle rette per l'origine risulta non essere differenziabile (giusto?). Adesso possiamo pensare il vettore $v \in R^2$ come formato ...
devo studiare questa funzione, ma non riesco ad arrivare in fondo all'esercizio. qualcuno mi sa aiutare?
$f :RR^2 -> RR$ definita cosi: \( f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2 +y^2} se (x,y) != (0,0)\) e \(f(0,0)=0 \).
innanzitutto vedo che $f$ non è continua perchè ad esempio:
\[f(x,x^2) =\frac{x^4}{x^2+x^4} = \frac{1}{\frac{1}{x^2} +1} \rightarrow_{x \rightarrow 0} 1 != 0 \]
quindi non è differenziabile su tutto $RR^2$, però potrebbe esserlo sull'aperto $U =RR^2 \ {(0,0)}$. ...
Salve a tutti, sono alle prese con il seguente esercizio che non riesco ad affrontare:
Siano $D$ il cerchio chiuso di $R^2$ di centro il punto $(1,1)$ e raggio $1/2$ ed $S$ la superficie di $R^3$ di equazioni parametriche:
${ x = u, y=v, z = 1 +(2u+2v-u^2-v^2-1)^(1/2), (u,v) in D}$
Provare la regolarità e calcolare l'area della superficie $S$.
Ho pensato di rappresentare il cerchio $D$ in coordinate parametriche ...
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