Calcolo ordine di infinitesimi delle funzioni radice
salve
sto affrontando il tema dell'ordine di infinitesimo e quando trovo sinx, 1-cosx, log(1+x), ecc riesco a risolvere facilmente ma quando trovo funzioni del genere mi blocco
$ lim_(x -> 0) sqrt(x^(4)+2) -sqrt(x^(3)+2) $
in questo caso procedo con la razionalizzazione in modo da non trovarmi più 0?
e poi come continuo?
sto affrontando il tema dell'ordine di infinitesimo e quando trovo sinx, 1-cosx, log(1+x), ecc riesco a risolvere facilmente ma quando trovo funzioni del genere mi blocco
$ lim_(x -> 0) sqrt(x^(4)+2) -sqrt(x^(3)+2) $
in questo caso procedo con la razionalizzazione in modo da non trovarmi più 0?
e poi come continuo?
Risposte
Fai la razionalizzazione. Poi hai quasi finito.
ok il mio dubbio è questo
dopo la razionalizzazione mi viene quindi
$ lim_(x -> 0) (x^4-x^3) / (sqrt(x^4+2) + sqrt(x^3+2) ) $
questo limite fa 0 e ci troviamo
ma a me serve il suo ordine di infinitesimo perche è parte di un limite molto piu esteso che vede la somma di piu funzioni e quindi devo prendere quella con l'ordine piu basso
per questo mi serve il suo ordine di infintesimo e non riesco a capire come fare adesso
dopo la razionalizzazione mi viene quindi
$ lim_(x -> 0) (x^4-x^3) / (sqrt(x^4+2) + sqrt(x^3+2) ) $
questo limite fa 0 e ci troviamo
ma a me serve il suo ordine di infinitesimo perche è parte di un limite molto piu esteso che vede la somma di piu funzioni e quindi devo prendere quella con l'ordine piu basso
per questo mi serve il suo ordine di infintesimo e non riesco a capire come fare adesso
Avresti potuto utilizzare anche gli sviluppi in serie. In ogni modo, seguendo il tuo procedimento, poichè al numeratore "comanda" $[x^3]$ mentre al denominatore comanda $[x^(3/2)]$, l'ordine di infinitesimo è $[3-3/2=3/2]$.
aspetta qualcosa non mi torna
questo che stai facendo tu, non si può fare solo nel caso in cui $ f(x)/g(x) $ sia f(x) che g(x) siano infinitesime in xo (x con zero)??
in questo caso con xo = 0
$ g(x)= sqrt(x^4+2)+sqrt(x^3+2) $ non è infinitesima in xo = 0
sto sbagliando??
questo che stai facendo tu, non si può fare solo nel caso in cui $ f(x)/g(x) $ sia f(x) che g(x) siano infinitesime in xo (x con zero)??
in questo caso con xo = 0
$ g(x)= sqrt(x^4+2)+sqrt(x^3+2) $ non è infinitesima in xo = 0
sto sbagliando??
Hai ragione, mi sono confuso con il denominatore. In ogni modo, puoi procedere così anche se il denominatore tende ad un numero diverso da zero. Quindi: poichè al numeratore "comanda" $[x^3]$ mentre al denominatore comanda $[x^0]$, l'ordine di infinitesimo è $[3-0=3]$.
quindi lo posso fare sempre questo passaggio??
quando una funzione non è infinitesima in xo è come se avesse ordine 0??
quando una funzione non è infinitesima in xo è come se avesse ordine 0??
Certo. Per essere estremamente rigorosi e senza voler utilizzare gli sviluppi in serie, dopo aver calcolato l'ordine di infinitesimo facendo quelle "veloci" considerazioni, dovresti calcolare il limite del rapporto tra la funzione oggetto di studio e l'infinitesimo campione:
$lim_(x->0)(sqrt(x^(4)+2)-sqrt(x^(3)+2))/x^3$
Ovviamente, ti aspetti che il limite valga un numero diverso da zero. Infatti:
$lim_(x->0)(sqrt(x^(4)+2)-sqrt(x^(3)+2))/x^3=lim_(x->0)(x^4-x^3)/(x^3(sqrt(x^(4)+2)+sqrt(x^(3)+2)))=-1/(2sqrt2)$
Quindi:
$sqrt(x^(4)+2)-sqrt(x^(3)+2)=O(x^3)$
$lim_(x->0)(sqrt(x^(4)+2)-sqrt(x^(3)+2))/x^3$
Ovviamente, ti aspetti che il limite valga un numero diverso da zero. Infatti:
$lim_(x->0)(sqrt(x^(4)+2)-sqrt(x^(3)+2))/x^3=lim_(x->0)(x^4-x^3)/(x^3(sqrt(x^(4)+2)+sqrt(x^(3)+2)))=-1/(2sqrt2)$
Quindi:
$sqrt(x^(4)+2)-sqrt(x^(3)+2)=O(x^3)$
grazie mille mi è tutto chiaro adesso!
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