Analisi matematica di base

Esercizio: Sia $f : RR -> RR$ convessa. Se $x_1 < x_2 in RR$ e se $ f(x_1) <= f(x_2)$, allora $f$ è crescente su $[ x_2 , +oo [$. Svolgimento: Poiché non è richiesta la derivabilità di $f$ mi è venuto in mente un lemma che stabilisce che una condizione equivalente alla convessità è la seguente: $AA x < y < z in RR$ si deve avere che $(f(y) - f(x))/(y - x) <= (f(z) - f(x))/(z - x) <= (f(z) - f(y))/(z - y)$ Scelgo altri due punti $xi < mu in [ x , +oo [$, e applico due volte il lemma (prendendo come punti prima ...

Volevo porvi una questione sulle funzioni uniformemente continue ed in particolare sul teorema di Cantor-Heine. Il teorema è dimostrato per assurdo, con la negazione della tesi di uniforme continuità. Quindi: \(\displaystyle \exists \varepsilon > 0 \) tale che \(\displaystyle \forall \delta > 0 \exists \) x1,x2 \(\displaystyle \epsilon \) dominio di f tali che |x1-x2|< \(\displaystyle \delta \) ma |f(x1) - f(x2)| > \(\displaystyle \varepsilon \). Scegliendo \(\displaystyle \delta \) = 1/n ...

Non riesco a capire come risolvere questi limiti, usando i limiti notevoli. $lim_(x->0)(xtan(3x))/(1-cos^3(2x))$ con risultato $1/2$ $lim_(x->0)(cos^2(2x)-cos^2(x))/(x^2)$ con ris $-3$ qualcuno può aiutarmi?

Salve, sono nuovo qui, ma spesso leggo topic che trovo molte volte utili per i miei studi universitari (fisica, 2°anno). Volevo sentire il vostro parere su come svolgere praticamente questo esercizio (dal punto di vista concettuale mi sembra piuttosto immediato). L'esercizio è questo: "Sia dato G:={(x,y)∈R2 |y=x^2,0≤x≤1}. Si provi che G⊂R2 ha misura esterna nulla." Si tratta in pratica di dimostrare che il grafico di una funzione ha misura di Lebesgue nulla in R2. Ora mi chiedevo l'approccio ...

Salve! Per quale motivo la serie armonica $f(x)=\sum_{n=1}^\infty\ 1/n$ diverge??? A me verrebbe da dire convergente... $\lim_{n \to \infty}1/n $ tende a zero!

Ciao a tutti, volevo chiedervi se secondo voi ho risolto bene questo esercizio. Classificare le singolarità della seguente funzione: $f(z)=(1-cos(2z))/(z^4sin(1/(z+1)))$ Io ho sviluppato con McLaurin il seno: $sin(1/(z+1))=sum_(k=0)^(+oo)(-1)^k1/((z+1)^(2k+1)(2k+1)!)$ Sostituendo, ottengo: $f(z) = sum_(k=0)^(+oo)(-1)^k((z+1)^(2k+1)(2k+1)!)(1-cos(2z))/z^4$ Quindi l'unica singolarità da studiare è quella in $z=0$. Ho provato a fare $lim_(z->0)f(z)=lim_(z->0)sum_(k=0)^(+oo)phi(z,k)(1-cos(2z))/z^4$ con $phi(z,k) = (-1)^k((z+1)^(2k+1)(2k+1)!)$ Allora: $lim_(z->0)phi(z,k) = alpha < oo$ Mentre per fare $lim_(z->0)(1-cos(2z))/z^4$ ho applicato de l'Hopital. Posso farlo in quanto ...

Ciao, in questi giorni ho provato a risolvere qualche limite ma mi sono imbattuta nel seguente: $ lim_{n rightarrow +infty} (n^3 arctg[1- (frac{2^n +n+1}{2^n+1})^{sqrt{n+cos n}}])$ L'argomento dell'arcotangente tende a 0 come è facile vedere, infatti: $ (frac{2^n +n+1}{2^n+1})^{sqrt{n+cos n}}=(1+frac{n }{2^n+1})^{sqrt{n+cos n}}=(1+frac{1}{frac{2^n+1}{n }})^{frac{2^n+1}{n }cdot frac{n}{2^n+1}sqrt{n+cos n}} $ il quale tende a 1. Quindi siamo in presenza di una forma indeterminata $0 cdot infty$. Dopo aver verificato questo ho cercato di calcolare il valore del limite notando che l'esponente aveva lo stesso comportamento di $sqrt n$ e che il numeratore e il denominatore della frazione ...

Per dimostrare che la funzione $f(x) := sum_(k=0)^(+oo) (3/4)^k * sin( 4^k x )$ non è derivabile in nessun punto $x in RR$ come si potrebbe procedere?

è possibile utilizzare lo sviluppo di taylor per approssimare funzioni di cui non è banale calcolarne il dominio? mi spiego meglio: se ho una funzione insidiosa di cui devo calcolare il dominio, posso approssimarla per mezzo del polinomio di Taylor e poi fare il limite di f(x) per x-->0 e vedere che valore assume tale funzione? oppure ciò serve solamente per rendere prolungabile una funzione in un punto? oppure serve solo per errori, maggiorazione di errori e calcolo di limiti nella forma ...

Ciao a tutti. mi sono trovata con questo problema. data una successione di funzioni reali di variabile reale convergente uniformemente su tutto R ad una funzione strett crescente e derivabile su tutto R. devo dimostrare che la successione delle derivate prime può non essere magg di 0 per qualche n e che nn puo essere minore di 0 per ogni n? Io ho provato csi, ma ahimè nn è la successione adatta. qualcuno mi puo venire in aiuto? Grazieee - ho scelto una successione di funzioni del tipo ...

Dati i vettori $v=2i-j+k$ e $w=i+j$, calcolare il prodotto scalare $<v,w>$, qual'è l'angolo formato tra i due vettori, calcolare il prodotto vettoriale $v^^w$ e il prodotto misto $<k*v^^w>$. Posto che un vettore sia nella forma $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ oppure nella forma $x=(x_1i+y_1j)$ dove $i,j$ sono i versori. Nell'esercizio il vettore $v$ che vettore è? Un vettore in $RR^3$ o cosa? Il vettore ...

Salve a tutti ragazzi, sono nuovo del forum. Frequento il secondo anno di matematica all'università e vorrei chiedervi un consiglio su come stabilire il carattere di una serie. Allora, la serie di cui studiare il carattere in questione è $\sum_{n=1}^infty ln(n^7)/(1+n^alpha)$, al variare di $\alpha$ in $\RR$ Ora, per studiarne il carattere pensavo, essendo la serie a termini strettamente positivi, di provare il confronto con la serie armonica generalizzata. Ora, la mia domanda è la seguente ...

Ciao, amici! Data la disuguaglianza di Jensen $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in (0,1] ^^ \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1 => f(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i \x_i ) \leq \sum_{i=1}^{n} \lambda_i f(\x_i)$ dove $f$ è strettamente convessa su $(a,b) supe {x_0,···,x_n} $. mi pare che $ f(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i \x_i ) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i f(\x_i) <=> x_0=···=x_n$ (cioè se e solo se gli $x_i$ sono uguali). Giusto o do i numeri? Ometto per non riscrivere qua una dimostrazione completa della disuguaglianza di Jensen, ma ho fatto derivare l'implicazione dal fatto che mi pare che $\sum_{i=1}^{n}\lambda_ix_i=\alpha\sum_{i=1}^{n}\lambda_i <=> AAi,x_i=\alpha$. $\sum_{i=1}^{oo}"grazie"_i$ a tutti!!! P.S.: Rigel ed io abbiamo parlato di questa ...

ciao a tutti, avevo un problema con questa equazione differenziale y''(x) + 3y'(x)=-2 sono consapevole del fatto che sia una cavolata, sono consapevole che devo trattarla come polinomio di grado 0, ma cosa devo fare? qualcuno può darmi una mano per favore?

Ciao, Vi chiedo quando una funzione si dice Riemann integrabile in senso improprio? La funzione \(\displaystyle e^{-x} \) è integrabile in senso improprio sull'intervallo \(\displaystyle (-\infty, 0) \)? La funzione \(\displaystyle e^x \) su \(\displaystyle (0,+\infty) \)? \(\displaystyle 1/x \) sull'intervallo \(\displaystyle (0,+\infty) \)? A me viene da dire che le prime due sono Riemann-int in senso improprio e hanno integrale divergente, mentre l'ultima no perché si cade in una forma di ...

salve a tutti io sono un nuovo iscritto cercavo un aiuto con il seguente integrale perchè non sono riuscito proprio a capire come si procede in generale non ho capito come si integrano le funzioni irrazionali.... ringrazio tutti anticipatamente per l aiuto $ int (x+2)/sqrt(x^2+x) $

Ciao a tutti. Nella mia eterna insicurezza volevo chiedervi se ho risolto bene questo esercizio: Data la seguente funzione di variabile complessa, determinare e classificare le singolarità al finito. $f_n(z) = z^n/(1-cos(z))$ Allora ho ragionato così: la funzione ha singolarità per $z = 2kpi$, con $k in ZZ$. 1) Supponiamo $AAk!=0$, $AAn in Z, n>=0$ ho: $lim_(z->2kpi)z^n/(1-cos(z)) = (2kpi)^n/0 = oo$ E cioè sotto le condizioni del punto 1, $z=2kpi$ è un polo. 2) Per ...

Ciao a tuttiiii. Mi chiamo Pia e sono nuova del forum. Sto avendo a che fare per la prima volta con le convergenze di successioni e mi sono trovata davanti non poche difficoltà non tanto nella teoria quanto nella pratica. Avrei perciò bisogno se possibile della soluzione di due esercizi che vi posto qui in modo tale da poter capire bene la soluzione. eccoli: Grazie ancora ciaooo

Ciao a tutti...devo riuscire a dimostrare la convergenza di una serie...ho intuito sostituendo i primi valori che converge e in più il termine generale tende a 0 (condizione necessaria ma non sufficiente)...ho provato anche ad applicare i criteri che conosco, ma per ora non ho risolto niente...la serie è la seguente: $sum_(n = 1)^(oo ) (2sqrt(n)-1) / (n^(2))$ Grazie mille in anticipo!!! P.S. La formula in anteprima si vede perfettamente, poi quando faccio inserisci non me la visualizza correttamente. Comunque ...

$ (3x+5)/( (4x-1)^(1/2)-3 )>2 $ La prima cosa che ho fatto è stato trovare per quali x la frazione ha senso,e cioè $1/4<x<5/2 $ e $x>5/2$. A questo punto cosa dovrei fare?Se provo a razionalizzare viene un casino di fattori...