Analisi matematica di base

Salve, vorrei finalmente chiarirmi un dubbio che mi porto dietro da troppo tempo. Se ho una funzione lineare a due varibili \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) definita come \(f(x,y) = 2x + 3y\), cioè un piano. Ora se si calcola il suo gradiente risulta essere un punto costante \((2,3)\). Il dubbio: cosa significa avere il gradiente costante, cioè un singolo punto? Il punto dolente è in questa definizione: Il gradiente fornisce la direzione di massima crescita della ...

Salve, vorrei chiarire una curiosità. Ho trovato più di una volta questo simbolo: \(\dot{v}\) vorrei sepere quale è il suo significato. Dal contesto sembra essere una notazione alternativa della derivazione. Ringrazio

Non riesco proprio a risolvere il seguente limite : lim x->0 (e^x-1)^x

Buongiorno! Ho questa simpatica funzione : (y^3-27x^3)*log|y-3x| per y=3x invece vale 0 Faccio il limite e noto che è continua su tutto il dominio noto subito che avrò problemi in y=3x ..studio la differenziabilità su quella retta..ora mi chiedo, come faccio ad applicare la definizione per le derivate parziali? lim_(h -> ) (f(x+h;3x) - f(x;3x) ) / h lim_(h -> ) (f(x;3x+h) - f(x;3x) ) / h così? Grazie!

Posto $f(x) = 2x +cosx $ dimostrare che $f$ è invertibile e calcolare $(f^-1)' (1)$ Io ho risolto così: -per vedere se è invertibile ho fatto la derivata prima >0 quindi $f'(x)=2-senx >0$ quindi $ senx<2$ per ogni $x\inR$ quindi è invertibile in tutto l'intervallo R -pongo $f'(x)=1$ ; $senx=1$ ; $x= \pi /2 +2k\pi$ quindi $f'(\pi/2) = 2-sen (\pi/2) = 1$ l procedimento è gusto? Per vedere se è invertibile o eventualmente trovare l'intervallo di ...

Ragazzi, sto studiando la funzione g(x)=x^(1/2)-logx . Giunto al calcolo delle derivate ho delle perplessità. g'(x) = (x^(1/2)-2)/2x = 0 per x=4. L'intervallo di crescenza dovrebbe essere dunque (0,4] e quello di decrescenza [4,+infinito) e g ha un punto di minimo in (4, 2-log4). g''(x) = (4-x^(1/2))/4x^2 = 0 per x=16. La derivata seconda si annulla in x=16 e da quel punto g dovrebbe passare da convessa a concava. Però da 4 in poi è sempre crescente. Non riesco a capire. Spero mi possiate ...

Devo verificare attraverso la definizione che $ lim_(x -> 0) (sqrt(x^2+1) -x)=1$ Allora devo verificare che $ AA epsilon >0 EE del >0 : |sqrt(x^2+1) -x-1|<e AA x: 0<|x|<del $ Nella definizione c'è scritto: $|sqrt(x^2+1) -(x+1)|<epsilon$. Procedo con la "razionalizzazione al contrario" ed ottengo con qualche conto $|(-2x)/(sqrt(x^2+1) +x+1)|<epsilon$. Come posso andare avanti da qui? Grazie =) ps. mi scuso per le notazioni ma non ho trovato il simbolo "epsilon"

Ciao, amici! Il mio testo di analisi (1) dimostra che, se $f$ è derivabile n volte in $x_0$, il polinomio di Taylor di grado al massimo n $T_n(x)$ è l'unico polinomio di grado al più n che verifica $lim_(x->x_0) (f(x)-T_n(x))/(x-x_0)^n = 0$. Per calcolare il coefficiente $a_n$ del polinomio di Taylor $\sum_(k=0)^n a_k(x-x_0)^k$ il mio libro pone, utilizzando la regola di l'Hôpital $lim_(x->x_0) (f(x)-T_n(x))/(x-x_0)^n = 0 = lim_(x->x_0) (d^n/(dx^n)(f(x)-(a_n(x-x_0)^n+T_(n-1))))/(d^n/(dx^n)(x-x_0)^n)$ Essendo $d^n/(dx^n) (a_n(x-x_0)^n) = n!a_n$ e $d^n/(dx^n)(x-x_0)^n=n!$ mi è chiaro che $lim_(x->x_0) (d^n/(dx^n) f(x) - n!a_n)/(n!) = 0 <=> a_n=(lim_(x->x_0)d^n/(dx^n)f(x))/(n!)$ ma il ...

Ragazzi, nel calcolo di un'equazione di lagrange mi son imbattuto in questa equazione periodica Spunti per risolverla nel modo più semplice? Quanto vale il seno e il coseno di arcotangente dell'argomento x? http://imageshack.us/photo/my-images/202/p1010051l.jpg/

Analisi Matematica 1, Soardi, pag. 135. Non credo sia importante conoscere il contesto: non riesco a chiarire un passaggio in una dimostrazione. Esattamente: siano $p$ e $k$ numeri reali. La serie è $\sum 1 / (n^p * log^k n)$. Se $k<0$, posto $p=1+d$, con $d>0$, si ha $[log^(-k) n]/n^(d/2)$. Tutto quì. Ma non riesco a giustificarmi il passaggio da $n^(1+d)$ a $n^(d/2)$. Qualche suggerimento? Grazie.

l'esercizio è questo: calcolare l'area della porzione di superficie sferica di raggio R e centro (0,0,0) compresa tra il piano $z=R/2$ e $z=R/2$ io pensavo di utilizzare le coordinate sferiche per parametrizzare la sfera ${x^2+y^2+z^2<R^2}$, cioè $x=rho $$senphi$$costheta$ $y=rho $$senphi$$sentheta$ $z=rhocosphi$ però non capisco quale sia la funzione da integrare....

Salve a tutti mi sorge un dubbio riguardo la definizione di esistenza della derivata nel punto. Mi è sempre stato detto che perchè una funzione sia derivabile è necessario che in quel punto derivata destra e sinistra coincidano. Secondo questa definizione la seguente funzione definita a tratti è derivabile? : $f(x)= x $ , per $ x in RR \\ 1 $ e $f(x)=1 $ , per x $ x in 1 $ il lim dx e sx della derivata sono uguali a $1$ ma nel punto $1$ il ...

Ragazzi buonasera! Un altro dubbio... L'esercizio è il seguente: “ Si consideri la forma differenziale: $w= (x^3 – y /(x^2 + y^2)) dx + (e^(2y)+x/(x^2 + y^2))dy$” e mi chiede di verificare che è chiusa nel primo quadrante del piano cartesiano esclusa l'origine. Ma io non mi trovo! C'è un errore nella traccia?

Salve a tutti, ho un problema con un integrale improprio, devo studiare se converge, diverge o oscilla: $\int_{0}^{infty} frac{log(1+sin^2(3x))}{2x(1+sqrt{x})}\dx $ allora, prima di tutto verifico che l'integrale è improprio solo in $infty$ $lim_{x \to \0} frac{log(1+sin^2(3x))}{2x(1+sqrt{x})} = lim_{x \to \0} frac{log(1+9x^2)}{2x(1+sqrt{x})}= lim_{x \to \0} frac{9x^2}{2x(1+sqrt{x})} = 0$ dopodichè controllo che la condizione necessaria (ma non sufficiente) alla convergenza dell'integrale sia rispettata, ovvero il limite ad infinito della funzione deve essere 0: $lim_{x \to \infty} frac{log(1+sin^2(3x))}{2x(1+sqrt{x})} = 0$ quindi concludo che l'integrale PUò convergere, ora potrei applicare il ...

Sapete indicarmi un testo o delle dispense in cui ci sono degli esercizi e della teoria svolti per il calcolo di trasformate di Fourier e si usa il teorema dei residui per il calcolo degli integrali? Sono un po' arrugginito per quanto riguarda il calcolo di integrali complessi, ma ora come ora vorrei dei metodi pratici per prendere confidenza con il calcolo piuttosto che mettermi a studiare teoria. Tipo: se devo calcolare la trasformata di F. di queste due funzioni \[{x \over 1+x^2} \qquad {x ...

Salve a tutti devo risolvere il seguente integrale triplo. $int int int_T x^3/(x^2 +y^2) dxdydz$ dove $T ={(x,y,z) in R^3: 1<=x^2 + y^2 + z^2 <=4, x^2 + y^2 <=z^2, x>=0, y>=0, z>=0}$ Ho abbozzato una soluzione. Per calcolarmi il dominio mi ritrovo una sfera di raggio $2$ con dentro (credo) una sfera di raggio $1$, inoltre tutto si svolge nel $1°$ quadrante, infine sostituendo l'equazione del cono dentro quello della sfera dovrei ottenere gli estremi di integrazione di $z$. Considero le coordinate cilindriche e ...

Vorrei chiedere delucidazioni sul passaggio in coordinate polari per risolvere un limite: $ lim_((x,y) -> (0,0)) (x ln (2+ (xy) / (x^(2) +y^(2)) ) - y ln 2) / (x^2 + y^2)^(1 / 2) $ Ora, sostituendo $ x = l cos(a) , y = l sen(a) $ $ lim_((x,y) -> (0,0)) (x ln (2+ (xy) / (x^(2) +y^(2)) ) - y ln 2) / (x^2 + y^2)^(1 / 2)= lim_(l -> 0) (l sena* ln (2 + l^2 (sena* cosa) / (l^2)) - l sena* (ln 2)) / l $ E' giusto fare questa sostituzione? Sullo svolgimento dell'esercizio, nell'uguaglianza viene aggiunto $lim_((x,y) -> (0,0)) "sup" / ( a in [0,2π) ) (x ln (2+ (xy) / (x^(2) +y^(2)) ) - y ln 2) / (x^2 + y^2)^(1 / 2)$ cioè il sup sugli $a in [0, 2π)$ .

Gentile forum, avrei un dubbio sulle modalità di verifica dei limiti in due variabili. Esempio: Verificare che $ lim_((x,y) -> (0,0)) x^4/(x^2+y^2) = 0$ Tralasciando la definizione e tutte le varie notazioni, bisogna verificare che: $|x^4/(x^2+y^2)| < ε$ Ora, qui iniziano i miei problemi. Si incomincia con le maggiorazioni. Esempio: $|x^4/(x^2+y^2)| = x^4/(x^2+y^2) = x^2 * x^2 / (x^2 + y^2) <= x^2 * (x^2 + y^2)/(x^2 + y^2) = x^2 <= x^2 + y^2$ Si è "dimostrato" quindi che $|x^4/(x^2+y^2)|<= x^2 + y^2$ Dopo aver fatto questo passaggio si dimostra che $x^2 + y^2 < ε$ per tutti i punti $(x,y)$ appartenenti ad ...

Salve, ho problemi a studiare la seguente disequazione: $ x+log(x^2-5x+6)>=0 $ ho provato a portare entrambi a logaritmo e imporre la disequazione agli argomenti ma ovviamente risulta sempre la stessa la disequzione, help

Buongiorno a tutti, vi sottopongo una domanda che mi sono posto da solo (ma sono sicuro di averla già vista, magari in altra forma, da qualche parte); ovviamente ( ), non ho ancora trovato risposta. Prendiamo $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ intera (cioè olomorfa su tutto $\mathbb{C}$), non costante. Posso concludere che esiste $z \in \CC$ tale che \(\displaystyle f(z) \in \mathbb{R} \)? La domanda mi è venuta pensando a una possibile generalizzazione del teorema di Liouville. Se per assurdo, ...