Trovare massimi e minimi assoluti
Salve a tutti non riesco a capire bene il seguente problema:
Trovare gli eventuali punti di minimo e di massimo assoluti della funzione
$f(x,y) = y*sqrt(|x^2+y|)$
nel dominio $T={(x,y) in R^2:x in [-1,1], -x^2<=y<=x^2}$
eseguo le derivate rispetto a $x$ e $y$ ed ottengo:
che i punti critici si trovano in $(x,0)$ e $(x,-x^2)$
Ora rispetto a dominio $T$ osservo che la funzione è crescente per $y>0$ pertanto dovrei avere due punti di massimo in corrispondenza di $(-1,1)$ e $(1,1)$.
Per i punti di minimo la situazione si fa più complicata nel senso che lungo i punti di $y =-x^2$ per $x in [-1,1]$ la funzione fa sempre zero, eppure esistono chiaramente punti compresi in $T$ dove la funzione diventa negativo, ma non riesco a trovarmi il minimo di questi valori. Ho parametrizzato il dominio rispetto a $y =-x^2$ ma non ottengo nulla.
Qualche suggerimento? Sbaglio in qualcosa?
Grazie in anticipo
Emanuele
Trovare gli eventuali punti di minimo e di massimo assoluti della funzione
$f(x,y) = y*sqrt(|x^2+y|)$
nel dominio $T={(x,y) in R^2:x in [-1,1], -x^2<=y<=x^2}$
eseguo le derivate rispetto a $x$ e $y$ ed ottengo:
che i punti critici si trovano in $(x,0)$ e $(x,-x^2)$
Ora rispetto a dominio $T$ osservo che la funzione è crescente per $y>0$ pertanto dovrei avere due punti di massimo in corrispondenza di $(-1,1)$ e $(1,1)$.
Per i punti di minimo la situazione si fa più complicata nel senso che lungo i punti di $y =-x^2$ per $x in [-1,1]$ la funzione fa sempre zero, eppure esistono chiaramente punti compresi in $T$ dove la funzione diventa negativo, ma non riesco a trovarmi il minimo di questi valori. Ho parametrizzato il dominio rispetto a $y =-x^2$ ma non ottengo nulla.
Qualche suggerimento? Sbaglio in qualcosa?
Grazie in anticipo
Emanuele
Risposte
Ciao....
Intanto c'è un problema nel dominio perchè:
$-x \le y le x^2$
Ma se $x = -0.5$ deve essere $0.5 \le y \le 0.25$, che non ha senso.
C'è forse un modulo da aggiungere ?
Intanto c'è un problema nel dominio perchè:
$-x \le y le x^2$
Ma se $x = -0.5$ deve essere $0.5 \le y \le 0.25$, che non ha senso.
C'è forse un modulo da aggiungere ?
si avevo fatto un piccolo errore di ricopiatura
Le derivate prime mi vengono
$f_x=(xy)/(\sqrt(x^2+y))$
$f_y=(2x^2+3y)/(2\sqrt(x^2+y))$
A parte il punto (0,0) che sta sul bordo (quindi lo vediamo dopo), si vede che non si annullano mai insieme quindi non ci sono minimi sulla superficie interna.
Ora bisogna guardare la frontiera. Si parametrizzano gli archi di parabola:
es.
$x=t, y=t^2$
$f(t)=t^2\sqrt{2x^2}$
.......
quindi bisogna anche fare i bordi destro e sinistro, che sono due segmenti.....
$f_x=(xy)/(\sqrt(x^2+y))$
$f_y=(2x^2+3y)/(2\sqrt(x^2+y))$
A parte il punto (0,0) che sta sul bordo (quindi lo vediamo dopo), si vede che non si annullano mai insieme quindi non ci sono minimi sulla superficie interna.
Ora bisogna guardare la frontiera. Si parametrizzano gli archi di parabola:
es.
$x=t, y=t^2$
$f(t)=t^2\sqrt{2x^2}$
.......
quindi bisogna anche fare i bordi destro e sinistro, che sono due segmenti.....
Praticamente bisogna indagare la frontiera nella retta di equazione $x= -1$.
Fissato $x=-1$ si ha $f(-1,y) = y*sqrt(|x^2-y|)$ , calcolando la derivata prima di questa equazione in una variabile, si ha che la derivata prima si annulla in $y =-2/3$, pertanto si ha un minimo nella frontiera per $x=-1$ e $y=-2/3$, per simmetria si ha che quel minimo si ha pure per $x=1$, $y=-2/3$.
Ma come faccio ad assicurarmi che non si abbia un minimo all'interno della regione $T$?
Non ricordo qualche passaggio, voglio dire è intuitivo che sia così, perchè nella regione $T$ per ogni $x$ $y>-x^2$ e poichè $x$ varia nel caso specifico tra $0$ e $-1$, $y$ in $T$ è $<=x$.
Esiste un metodo che mi garantische che all'interno di $T$ non ci siano minimi?
Grazie a tutti.
Fissato $x=-1$ si ha $f(-1,y) = y*sqrt(|x^2-y|)$ , calcolando la derivata prima di questa equazione in una variabile, si ha che la derivata prima si annulla in $y =-2/3$, pertanto si ha un minimo nella frontiera per $x=-1$ e $y=-2/3$, per simmetria si ha che quel minimo si ha pure per $x=1$, $y=-2/3$.
Ma come faccio ad assicurarmi che non si abbia un minimo all'interno della regione $T$?
Non ricordo qualche passaggio, voglio dire è intuitivo che sia così, perchè nella regione $T$ per ogni $x$ $y>-x^2$ e poichè $x$ varia nel caso specifico tra $0$ e $-1$, $y$ in $T$ è $<=x$.
Esiste un metodo che mi garantische che all'interno di $T$ non ci siano minimi?
Grazie a tutti.
Guardi quando entrembe le derivate parziali si annullano. E' una condizione necessaria ma non sufficiente.
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