Analisi matematica di base

Sia [tex]a_n \geq  0[/tex] e si supponga convergente la serie corrispondente. Si denoti con \(\displaystyle S \) la somma. Si dimostri che anche la serie degli [tex]a^2_n[/tex] converge e che la sua somma è  [tex]\leq S^2[/tex].

Ciao a tutti ho la seguente equazione differenziale di cui trovare la soluzione [tex]y' (x)=\sinh(x) (y^{2} (x)-1)[/tex] che riscrivo come [tex]y' (x)= y^{2} (x)\sinh(x)-\sinh(x)[/tex] secondo voi ha senso risolverla usando il metodo di sovrapposizione ovvero studiano due diverse equazioni differenziali? [tex]y'_{1} (x)= y_{1}^{2} (x)\sinh(x)[/tex] e [tex]y'_{2} (x)= -\sinh(x)[/tex] risolvendo la prima come equazione differenziale a variabili separabili e la seconda con integrazione ...

Ciao a tutti. Sto leggendo un articolo, in cui la soluzione del problema affrontato è data dal seguente sistema: $({lambda_1(1+e^x)}/{e^x}-{1}/{lambda_0(lambda_0-1)})f'(x)-{f(x)[lambda_0(1+e^x)-1]}/{lambda_0(lambda_0-1)(1+e^x)}+{e^{lambda_0x}}/{1+e^x}(int_x^{A}{f(y)(1+e^y)}/{e^{lambda_0y}}dy+{e^{-lambda_0A}}/{lambda_0})=$ $=-{e^x}/{1+e^x}$ se $x<A$ $f(x)=1/{1+e^x}$ se $x>=A$ La prima è un'equazione integro-differenziale, dove $lambda_1$, $lambda_0$ e $A$ sono delle costanti. L'articolo fornisce poi la soluzione $f(x)$ di questo sistema, dicendo che può essere facilmente calcolata, senza spiegare però il ...

come si fa a dimostrare, che per esempio, la funzione seno è 1-lipschitziana? Allora per la definizione, ho che $sin: RR -> [-1,1] $ è 1-lipschitziana se e solo se $AA x,y in RR ||sin(x) -sin(y)|| < ||x- y|| $ . considero $RR$ munito della norma $oo$, quindi $"sup"_{x,y in RR} |sin(x) -sin(y)| < "sup"_{x,y in RR} |x-y|$. è come faccio a dimostrare che questo è vero?

Salve! Devo calcolare questo integrale definito $int_-infty^infty((3z^2-1)/((9z^2+1)(1+z^2)))$ che si calcola usando il metodo dei residui. Troviamo gli zeri del denominatore -> $z_0 = +-j; z_1 +-j/3$ Nel calcolo degli integrali siamo interessati solo agli zeri con $Im(z)>0$, quindi dovrò fare la somma dei residui in $j,j/3$ $int_-infty^infty((3z^2-1)/((9z^2+1)(1+z^2)))=2*PI*j Re_f(j)+Re_f(j/3)$ Sono poli di primo ordine (infatti $3z^2-1 = 0 -> 3z^2=-1 z=+-j/sqrt(3)$), non ci sono 0 apparenti. Quindi posso usare la formula secondo la quale $R_f(z_0) =( A(z_0))/(B'(z_0))$ Derivo il ...

Ciao ragazzi, volevo proporvi un esercizio riguardante le derivate direzionali e volevo sapere se il mio ragionamento era corretto. Dunque, data la funzione: $g(x,y)=(x^2(y-1))^(1/3) + 1$ si vuole calcolare $D_vg(0,1)$ per ogni direzione $v \in R^2$. Ora, in un altro posto abbiamo stabilito che tale funzione non è differenziabile perchè applicando il metodo delle rette per l'origine risulta non essere differenziabile (giusto?). Adesso possiamo pensare il vettore $v \in R^2$ come formato ...

devo studiare questa funzione, ma non riesco ad arrivare in fondo all'esercizio. qualcuno mi sa aiutare? $f :RR^2 -> RR$ definita cosi: \( f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2 +y^2} se (x,y) != (0,0)\) e \(f(0,0)=0 \). innanzitutto vedo che $f$ non è continua perchè ad esempio: \[f(x,x^2) =\frac{x^4}{x^2+x^4} = \frac{1}{\frac{1}{x^2} +1} \rightarrow_{x \rightarrow 0} 1 != 0 \] quindi non è differenziabile su tutto $RR^2$, però potrebbe esserlo sull'aperto $U =RR^2 \ {(0,0)}$. ...

Salve a tutti, sono alle prese con il seguente esercizio che non riesco ad affrontare: Siano $D$ il cerchio chiuso di $R^2$ di centro il punto $(1,1)$ e raggio $1/2$ ed $S$ la superficie di $R^3$ di equazioni parametriche: ${ x = u, y=v, z = 1 +(2u+2v-u^2-v^2-1)^(1/2), (u,v) in D}$ Provare la regolarità e calcolare l'area della superficie $S$. Ho pensato di rappresentare il cerchio $D$ in coordinate parametriche ...

Salve a tutti!... ho un problema con 2 studi di funzione 1) $ (f(x)=(1/3)^(sqrt(4-x^2)) + sqrt(log (pi/4, arccosx)) $ 2) $f(x)=|x^2-3x+2| + log (x+1)$ 1) per trovare il campo d'esistenza devo porre inanzitutto $(4-x^2)>=0 => -1<=x<=1 $ poi siccome $arccosx$ è sempre maggiore di zero lo ometto e passo direttamente a $ log(pi/4,arccosx) >=0$ da questo ricavo che $ x<cos1\sim 1 $ e poi pongo $ -1<x<1 $, ricavo quindi che $ I= -1<x<1$ 2) per il secondo considero che il valore assoluto è costituito da un polinomio che ha sempre soluzioni in ...

sto studiando la convergenza puntuale della serie (da 1 a $infty$) di $((x^(2n))/n)*ln(1+((x^2)/(sqrt(n))))$ dal libro leggo che per x=0 converge puntualmente in 0 per x$!=$0 dal criterio del rapporto ho questo limite $\lim_{n \to \+infty}((((x^(2n+2))/(n+1))*ln(1+(x^2/sqrt(n+1))))/(((x^(2n))/n)*(ln(1+((x^2)/(sqrt(n)))))))$ mi potreste indicare la soluzione a questo limite, e come raggiungerla?? e in generale come ragionare con questi tipi di limiti? inoltre è possibile studiare la convergenza puntuale di una serie anche con i criteri per le serie numeriche?? e non solo con ...

Ciao, sto cercando di studiare le curve pararmetriche e non ho capito come posso capire quando una curva è regolare e quando una curva è semplice. So che per dire se una curva regolare bisogna che la curva sia continua (come faccio a verificarlo?) e che la sua derivata prima sia diversa da zero, giusto? E per dire se è semplice ? Cosa dovrei fare? Grazie

Ciao Ragazzi ho un problema che mi affligge da circa 2 ore, ve lo faccio vedere. Ho un numero complesso k,il problema è che è al quadrato,cioè: k^2=w^2kp + iwkf lo devo portare alla classica forma k=a + ib , cioè devo trovare il reale (a) e l'immaginario (b) ma mi sto confondendo come un matto, ho provato a fare radici , moltiplicare per il coniugato ma nulla!! se potete datemi una mano, ciao Gente!!

sono bloccata su questo esercizio: Mostrare che l'equazione $2e^{x+y} +y - x =0$ definisce in un intorno di $(-1,1)$ un'applicazione $ y =\phi (x)$. allora posso scrivere $ f : RR^2 -> RR $ t.c. $f(x,y) = 2e^{x+y} +y - x $ . La sua Jacobiana è $ ( ( 2e^{x+y} -1 , 2e^{x+y} +1 ) ) $ e quindi $ Jf (1,-1) = ((1,3))$. e ora potrei applicare il teorema delle funzioni implicite.. ma sento di aver fatto qualche errore.. oppure fin qua è giusto?

Buonasera a tutti ! Vorrei sapere se questi due esercizi che posto qui di seguito sono corretti ( almeno il 1 ,perchè il 2 non so come continuare !!) : 1) Dato $X={0}∪_k 1/ k $ e $ d(x,y)=|x−y|$ si spieghi perchè non c'è contraddizione con il teorema di Baire. Svolgimento : Il teo di Baire afferma una cosa molto importante e cioè che uno spazio metrico completo è di seconda categoria in sè,ovvero che non si può scrivere come unione numerabile di insiemi mai densi...venendo ...

Ciao a tutti, ho bisogno di trovare quanto vale la seguente serie: [tex]\sum_{n=0}^{+\inf}\frac{x^n}{n!(n+1)!}[/tex] e non ho la minima idea di come fare. Qualcuno può aiutarmi?

Ciao a tutti, ho un integrale improprio che mi da problemi: $\int_{2}^{+infty} 1/(sqrt(x+2)*(x-2)^(3\alpha)) dx$ Devo dire per quali valori di $\alpha$ l'integrale converge. Soluzioni: $1/6<\alpha<1/3$ Ho provato a partire dalle soluzioni per capire il procedimento. Ad esempio sostituendo $1/4$ ad $\alpha$ e poi cercando di scomporre in fratti semplici ma non sono riuscito. Grazie!

Salve a tutti. Devo provare che: $o(-5x^2 + xlog2 -3x +o(x))$ è $o(x)$. Vediamo se è giusto il ragionamento che faccio (per $x -> 0$): $o(−5x^2+xlog2−3x+o(x))$ $= o(-5x^2) + o(xlog2) + o(-3x) + o(o(x)) = $ $= o(-5x^2) + o(xlog2) + o(-3x) + o(x)$ considero i primi 3 termini e li divido per $x$, in modo da effettuare il confronto con la funzione $x$, allora per ognuno si ha: $(o(-5x^2))/x = (o(x^2))/x$ che divido e moltiplico per $x$ in modo da ottenere $(o(x^2))/x^2$$*x = 0 * x -> 0$ quindi per ...

ciao a tutti... ho la seguente funzione: $ (log(x^3-y)-2)/( x^3-y) $. Devo trovare i punti stazionari quindi devo vedere dove il gradiente è nullo. Quindi faccio il sistema tra le due derivate parziali poste uguali a zero, ovvero il sistema composto da queste due equazioni: $ log(x^3-y)-3 = 0 $ e $ 3x^2( log(x^3-y)-3) = 0 $. Volevo sapere se è corretto, una volta che pongo uguale a zero dalla seconda equazione, l'espressione $(3-log(x^3-y))$, asserire che oltre a un punto stazionario già trovato (per via di ...

Salve, cerco disperatamente un programma (semplice) che mi permetta di visualizzare i domini (compreso il grafico) delle funzioni a due variabili f(x,y). Qualcuno mi può aiutare? Grazie

Salva a tutti , vorrei chiedere un chiarimento sulla risoluzione dell'equazione differenziale a variabili separabili y'=√|y-1| Io ho provato a risolvere trovando prima le soluzioni del 1°ordine (y=1) poi sciogliendo il valore assoluto si possono trovare le soluzioni del secondo ordine ( per y>1 e y=[(x+c)^2 +4]/4 y