Divergenza e flusso

[process11]

si considerino il campo di vettori $F(x,y)=(-y,x)$ in R^2 e l'aperto $omega={(x,y) in R^2 | x^2+y^2<1 , x+y<1}$. calcolare il flusso del campo F uscente da $omega$ e mostrare che vale il teorema della divergenza.

allora il teorema della divergenza afferma che dato un aperto lipschitziano $omega$ in $R^n$ e F un campo di vettori di classe $C^1(baromega)$ allora
$\int_{omega} $div$ F dmu_n=\int_{delomega}Fv d H^(n-1)$
dove v è il vettore normale al bordo , lungo 1 e diretto verso l'esterno.

allora io devo capire come bene come si risolvono questi esercizi..
prima di tutto si calcola la divergenza, che in questo caso è zero perchè divF=$(del(-y))/(delx)+(delx)/(dely)=0+0=0$
quindi anche il secondo integrale deve risultare zero...io non ho capito quale è la funzione che devo integrare sul bordo di $omega$...

[ciampax]

Sul bordo di $\omega$ (che puoi scomporre in un segmento e in un arco di circonferenza) dovrai calcolare l'integrale del prodotto scalare del campo $F$ e del versore normale uscente da $\omega$.

[process11]

cioè $-y+x$, dato che il versore normale ha lunghezza unitaria????

[ciampax]

Ti ho detto che $\partial\omega$ va scomposto in due parti, quindi due versori. Tra l'altro, ti faccio presente che tu hai scelto come versore $v=(1,1)$ e $\|v\|=\sqrt{2}$.

[process11]

ah ok forse ho capito....sbaglio o il campo è tangente alla circonferenza e dunque il flusso li è zero??'

[ciampax]

Non sbagli: ma dovresti dimostrarlo.

[process11]

il vettore unitario al bordo è

$v(x,y)= ( (x-0,y-0) /sqrt(x^2+y^2))$
cioè
$(x/sqrt(x^2+y^2),y/sqrt(x^2+y^2))$???

[ciampax]

Sì... ma solo sulla parte della circonferenza. Il bordo è costituito anche da un segmento di retta.

[process11]

posto $h(x)=1-x$ il vettore direzionale al bordo del segmento dovrebbe essere
$((-Dh)/sqrt(1+|Dh|^2),1/sqrt(1+|Dh|^2))=(-1/sqrt2,1/sqrt2)$
però non sono affatto sicuro di quello che ho scritto...

[ciampax]

Il segmento appartiene alla retta $y=1-x$, che è parallela alla bisettrice del II e IV quadrante: pertanto la sua normale uscente deve essere parallela alla bisettrice del I e III quadrante e avere la forma $n=(a,a)$ con $|n|=1$.