Domande teoriche

[bimbozza]

Ci sono dei concetti teorici che mi sfuggono perchè non riesco a capire le seguenti cose:

1) Il piano tangente ad una superficie non esiste solo se il gradiente della funzione è un vettore nullo, giusto? Quindi perchè nel caso f(x,y)= 3x+2y+1 dove il gradiente è (3,2,0) il libro mi dà come risposta "non esiste"? non dovrebbe essere (calcolato in (-1,2,2)) z=3(x+1)+2(y-2)+2?

2) Per i limiti a 2 variabili, ogni volta che li calcolo imponendo la restrinzione y=mx devo SEMPRE calcolarla successivamente anche con y=x^2 per verificare l'unicità del limite? (Rispetto al metodo con le cordinate polari mi trovo meglio con questo, ma c'è questo dettaglio che non mi è chiaro...)

3) perchè il dominio di

[math] sqrt{abs(x) \sin{y} } [/math]

(con abs(x)= valore assoluto) non è per ogni x? (sò che deve valere anche [math]2k \pi-1 3)x=0 4)x

[ciampax]

1) in quela caso "non esiste" perché il grafico di quella funzione è un piano. In effetti è una dicitura errata, secondo me. In ogni caso, direi che oltre alla condizione da te espressa, il piano tangente non esiste se la funzione non è derivabile.

2) In realtà, dovresti calcolare il limite con qualsiasi cambiamento di coordinate, al fine di capire quello che succede. Il metodo che tu usi in realtà, serve a determinare quando il limite non esiste oppure quando non risulta uniforme. Una volta dimostrato che con

[math]y=mx[/math]

oppure con

[math]y=ax^2[/math]

(serve anche in questo caso un parametro) il limite presenta problemi, puoi già concludere sulla non esistenza del limite. Le coordinate polari vanno utilizzate nei casi in cui noti una forma "radiale" della funzione (quindi quando sono presenti potenze di

[math]x^2+y^2[/math]

).

3) La funzione è

[math]\sqrt{|x|\cdot\sin y}[/math]

? Allora le condizioni da imporre sono sicuramente le seguenti

[math]|x|\ge 0,\ \sin y\ge 0[/math]

le quali, ovviamente, implicano che tu possa scegliere liberamente i valori di

[math]x[/math]

. ma forse la funzione è scritta in altro modo?

Aggiunto 7 ore 39 minuti più tardi:

Se la funzione al punto 3 è quella, il dominio è il seguente

[math]D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ x\in\mathbb{R},\ k\pi\le y\le(k+1)\pi,\ k\in\mathbb{Z}\}[/math]

Se lo disegni, è composto da tante strisce orizzontali di ampiezza pi greco, una sì e una no.

Aggiunto 14 ore 10 minuti più tardi:

1) No: dire che una funzione di più variabili non è derivabile in un punto vuol dire che non esistono finite le derivate parziali in quel punto. Ad esempio la funzione

[math]f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}[/math]

non è derivabile in (0,0).

2) Ti ripeto: quei metodi servono a verificare che un limite, in generale, non esiste. Per verificare che un limite assume, effettivamente, un certo valore, conviene lavorare con le coordinate polari e con maggiorazioni/minorazioni.

3) Ti disegna il grafico così per impostazione della griglia di base: il dominio è quello che ti ho scritto. Non fidarti dei software!

Aggiunto 3 ore 28 minuti più tardi:

No, non hai capito cosa intendevo. Nel caso in questione, le derivate parziali esistono: infatti credo che il tuo libro usi una terminologia scorretta. Più che dire che non esiste il piano tangente, io direi che esso coincide, dappertutto, con la funziine data.

Quando invece parlavo della non derivabilità, intendevo dire che, in generale il piano tangente non esiste se non esistono le derivate parziali. Chiaro ora?