Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ciao a tutti Stavo svolgendo un esercizio che mi chiedeva di classificare un gruppo di ordine 12 e ho avuto qualche dubbio. Io ho iniziato cosi... allora $12=2^2*3$ e indicando con $P_2$ e $P_3$ rispettivamente i 2-sylow e i 3-sylow so per quanto riguarda il loro numero che: $n_3 -= 1 (3)$ e $n_3 | 12$ quindi $n_3=1, 4$ $n_2 -= 1 (2)$ e $n_2 | 12$ quindi $n_2=1, 3$ Osservo anche che necessariamente uno fra un 2-sylow e ...

Ciao Ero alla prese con questo esercizio che chiede di risolvere delle equazioni in $S_n$ "Trovare le $sigma$ tali che: a) $sigma in S_10$ verifichi $sigma^3=(1234)(56)$ b) $sigma in S_8$ verifichi $sigma^3=(13578)$ c) $sigma in S_8$ verifichi $sigma^6=(12)(34)$ Partendo dal primo: So che l'ordine di $sigma^3$ è uguale a 4, dunque $sigma^12=id$, da cui $o(sigma) | 12$. Ho studiato le terze potenze di un qualsiasi 2,3,4 e 6-ciclo e deduco che non ...

Un esercizio mi chiede di enunciare per bene e dimostrare questo fatto: Se la composizione di due funzioni è iniettiva, allora la più interna è iniettiva. Siano $f: A \rightarrow B, f(a)=b$ e $g: B \rightarrow C, g(b)=c$ due funzioni la cui composizione $g \circ f$ è iniettiva. Abbiamo: $\forall a_1,a_2 \in A$ se $a_1 \ne a_2 \Rightarrow g(f(a_1)) \ne g(f(a_2))$ ma $g(f(a_1)) \ne g(f(a_2)) \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2)$ Perché se per assurdo fosse $f(a_1) = f(a_2)$ allora $g$ non sarebbe una funzione, in quanto per definizione di funzione $\forall b \in B \exists! c \in C : c=g(b)$. Da ...

Quante funzioni iniettive ci sono $ f[3] rarr [4] $ ci sono? Sinceramente non so bene come muovermi con questi esercizi, io credo ci siano 4 funzioni, perché sono 4 gli elementi del codominio. Quante funzioni suriettive ci sono $ f[4] rarr [3] $ ci sono? Per essere suriettiva ogni elemento del codominio deve essere l'immagine di qualche elemento del dominio, quindi anche in questo caso direi 4. Sono giusti? (forse ho sbagliato categoria, ma è un esercizio che mi è capitato preparando ...

Buonasera, vi scrivo testo e parziale soluzione del seguente esercizio per cui chiedo aiuto: Testo: Sia G un gruppo di ordine $p^2$ con p numero primo. Si mostri che G ha al più $p+3$ sottogruppi. Sicuramente conteggio i due sottogruppi banali, cioè l'unità e G stesso. Inoltre, per il teorema di Lagrange, posso sicuramente dire che l'ordine di tali sottogruppi può essere $1, p$ oppure $p^2$. Qui non so più cosa dire.

C'è un passaggio che vedo spesso usare che però non mi torna; Sia $f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ un polinomio tale che $\deg\ f = 3$, grazie al lemma di Gauss so che esso è irriducibile se e solo se è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$. Siccome è di terzo grado so anche che è irriducibile se e solo se non ha radici in $\mathbb{Z}$, quello che vedo fare spesso è prendere il polinomio $\bar f(x) \in \mathbb{Z}_p[x]$ ossia la "proiezione" (è una proiezione?) in $\mathbb{Z}_p[x]$ e dire che visto che in ...

Buonasera innanzitutto. Scrivo il testo e la mia parziale soluzione di questo esercizio: Testo: Sia $\sigma\ in S13$ la permutazione $\sigma\ =((1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13), (9 , 12 , 13 , 6 , 7 , 11 , 2 , 3 , 4 , 10 , 1 , 5 , 8))$ (1) Si scriva $\sigma$ come prodotto di cicli disgiunti, si determinino l'ordine e la parità di $\sigma$. (2) Si determinino tutti gli interi k tali che $\sigma\^k = (2,5)(7,12)$. Riguardo al punto (1) non ho avuto problemi: Cicli disgiunti: $\sigma\=(1,9,4,6,11)(2,12,5,7)(3,13,8)$. Ordine: è il minimo comune multiplo delle lunghezze dei cicli disgiunti, ...

Dimostrare che nessun gruppo G con $|G|=72$ e' semplice Ho calcolato i p-Sylow e sono arrivata alla conclusione che: 2-sylow = 1 3 9 3-Sylow= 1 4 Se 2-Sylow o 2-Sylow e' unico allora questo sara' normale e G non sara' semplice. Ipotizzo che i 2-Sylow siano 9 quindi ho che se l'intersezione tra tutti e' banale allora vale la formula che |{unione dei 2-sylow}|=$7 x 9 + 1$ quindi avrei che la cardinalita' dell'unione e' 64 e che ...

Buonasera a tutti! Ero alle prese con questo esercizio: "Calcolare $Aut(ZZ_(/20ZZ) xx ZZ_(/2ZZ))$" Credo che sia utile in questo problema ricordare questi due fatti: 1) Se $G=H xx K$ con $(|H|,|K|)=1$ allora $H$ e $K$ sono caratteristici in $G$ 2) $Aut(ZZ_(/nZZ)) ~= (ZZ_(/nZZ))^(ast)$ Detto ciò mi sono ricondotto a studiare $Aut(ZZ_(/2ZZ) xx ZZ_(/4ZZ)) xx (ZZ_(/5ZZ))^(ast)$ Poi ho iniziato ad analizzare $G=ZZ_(/2ZZ) xx ZZ_(/4ZZ)$. Posso mandare i due generatori $(1,0)$ (che ha ordine 2) e ...

Buongiorno amici, sto studiando gli spazi vettoriali, e durante il percorso ho incontrato questa definizione di insieme massimale rispetto alla proprietà p. Sul mio libro di testo viene definita nel modo seguente Sia \(\displaystyle X \) un sottoinsieme di S, ed X sia munito di una certa proprietà p. Si dice che X è massimale rispetto alla proprietà "p" se ogni insieme Y che contenga propriamente X, non ha più la proprietà "p". Invece si dice minimale quando Si dice che \(\displaystyle X \) ...

Salve a tutti, ho bisogno di convertire una formula logica da DNF a CNF, tuttavia non mi ritrovo con il risultato. La formula in DNF è: $\phi^{DNF} = $ $(\neg a \wedge \neg b \wedge c) \vee (a \wedge \neg b \wedge \neg c) \vee (\neg a \wedge b \wedge \neg c) $ Per costruire la CNF sono partita dalla tabella e, dato che la formula equivalente è $\neg ((\neg \phi)^{DNF})$ , applicando De Morgan ho ottenuto: $((\neg \phi)^{DNF}) = ((a \wedge b \wedge c ) \vee (\neg a \wedge \neg b \wedge \neg c) \vee (\neg a \wedge b \wedge c) \vee (a \wedge b \wedge \neg c) \vee (a \wedge \neg b \wedge c) $ $\phi^{CNF} = \neg ((\neg \phi)^{DNF}) = (\neg a \vee \neg b \vee \neg c) \wedge (a \vee b \vee c) \wedge (a \vee \neg b \vee \neg c) \wedge ( \neg a \vee \neg b \vee c) \wedge (\neg a \vee b \vee \neg c)$ Tuttavia, la soluzione dell'esercizio risulta essere $(a \vee b \vee c) \wedge (\neg b \vee \neg c) \wedge (\neg a \vee \neg c) \wedge (\neg a \vee \neg b)$ Non riesco a capire come ci arriva, sicuramente è una cosa banale ma ...

Salve, ho il seguente esercizio: 'Sia G un gruppo semplice che ammette un sottogruppo tale che $[G]=n$, dimostrare che allora $|G|<n!$' Io ho ragionato in questo modo: Considero l'insieme X={insieme delle classi laterali} e prendo l'azione $G x X-> X$ che corrisponde a dare un omomorfismo $G->S_n$ Ora prendo un sottogruppo normale di G, che, essendo semplice sara' o il banale o tutto. Prendo $N={e}$ ed avro' quindi $G/{e}->K$ isomorfismo ...

Buonasera,vi chiedo una mano per questo esercizio. Il testo è il seguente: Sia G un Gruppo di ordine $3875=5^3 * 31$. Mostrare che G non è semplice, ovvero ha almeno un sottogruppo normale diverso da G e { 1G }. Credo di fare un po' di confusione con i teoremi riguardanti la teoria dei Gruppi. Grazie in anticipo a chi risponderà.

Salve, qualcuno può consigliarmi sei buoni appunti, video, dispense in italiano o in inglese semplice in cui viene spiegata la procedura dell'algoritmo euclideo esteso? Non trovo nulla, grazie in anticipo

Ciao a tutti! Stavo svolgendo il seguente (banale) esercizio: Sia $d=mcd(a,b)=ah+bk$ ($*$) dimostrare che $mcd(h,k)=1$. Non mi interessa la risoluzione ("canonica") ma, vorrei che trovaste l'errore (!) in questo ragionamento che ho fatto: Sia $D=mcd(h,k)$ allora $D|h$ e $D|k$ e $D$ divide una qualsiasi combinazione lineare di h e k, in particolare $*$, dunque $D|ah+bk=d$. Da qui se $d\ne 1$ come ...

Salve in questi giorni mi sto addentrando nel mondo del calcolo combinatorio,ovviamente prima di chiedere in questo topic ho letto parecchio e mi sono informato ma vorrei avere un'ulteriore conferma. La disposizione tiene conto sia del fatto che i vari sottoinsiemi di K elementi debbano essere ordinati (quindi due insiemi con gli stessi elementi sono differenti se i loro elementi sono posizionati in maniera differente) e sia del fatto che essi contengano elementi differenti (tranne nel caso ...

Salve, ho il seguente esercizio: "Sia G un gruppo e sia H un suo sottogruppo tale che $[G]=n$. Dimostrare che H contiene un sottogruppo N normale in G, con la proprieta' che $[G]$ divide $n!$ e come suggerimento ho di considerare l'azione di G sulle classi laterali sinistre di H. Io ho preso l'insieme $X={g_1H, g_2H....g_nH}$ e ho costruito l'azione $G x X -> X$ tale che $(g,x)->gx=gxH$ che e' a sua volta una classe laterale sinistra. E ora?

buonasera, Mi chiedevo se esistesse qualche regola o algoritmo che mi permetta di ricavare facilmente i divisori di un numero molto grande. So che è possibile tramite la scomposizione in numeri primi. ma prendiamo per esempio il numero 1234567890, tramite la scomposizione avrò che 1234567890= 2 x 3^2 x 5 x 3607 x 3803. c'è qualche regola che mi permetta di sapere che un determinato numero avrà i divisori entro un range specifico? spero di essermi spiegata al meglio.

Salve ragazzi! Perdonatemi se la domanda sarà molto stupida, ma non riesco a venirne a capo: in virtù della definizione di campo, sul mio libro di algebra leggo che nessun polinomio di grado maggiore di 0 è invertibile. Ma perché??? Il libro dice che se i gradi di due polinomi sono m ed n, una volta moltiplicati, si avrà dunque m+n, da cui la conclusione della non invertibilità, ma mi chiedo: se m fosse 1 ed n fosse -1, cioè se ho un polinomio p(x) ed un suo inverso p(x)^-1, il loro prodotto ...

Ciao, non riesco proprio ad impostare questo esercizio, penso mi manchi la creatività... Riporto la consegna: Sia K un campo, dove le operazioni sono indicate con gli usuali simboli +, ·. Partendo dalle 9 proprietà date nella definizione di campo, dimostrare che: - Se l’elemento neutro della somma è anche elemento neutro del prodotto, allora il campo ha un solo elemento. (Una volta dimostrato questo, siamo autorizzati ad usare due simboli diversi per indicarli, ovvero 0, 1.)