Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Quante funzioni iniettive ci sono $ f[3] rarr [4] $ ci sono?
Sinceramente non so bene come muovermi con questi esercizi, io credo ci siano 4 funzioni, perché sono 4 gli elementi del codominio.
Quante funzioni suriettive ci sono $ f[4] rarr [3] $ ci sono?
Per essere suriettiva ogni elemento del codominio deve essere l'immagine di qualche elemento del dominio, quindi anche in questo caso direi 4.
Sono giusti?
(forse ho sbagliato categoria, ma è un esercizio che mi è capitato preparando ...
Buonasera, vi scrivo testo e parziale soluzione del seguente esercizio per cui chiedo aiuto:
Testo:
Sia G un gruppo di ordine $p^2$ con p numero primo. Si mostri che G ha al più $p+3$ sottogruppi.
Sicuramente conteggio i due sottogruppi banali, cioè l'unità e G stesso. Inoltre, per il teorema di Lagrange, posso sicuramente dire che l'ordine di tali sottogruppi può essere $1, p$ oppure $p^2$. Qui non so più cosa dire.
C'è un passaggio che vedo spesso usare che però non mi torna;
Sia $f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ un polinomio tale che $\deg\ f = 3$, grazie al lemma di Gauss so che esso è irriducibile se e solo se è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$.
Siccome è di terzo grado so anche che è irriducibile se e solo se non ha radici in $\mathbb{Z}$, quello che vedo fare spesso è prendere il polinomio $\bar f(x) \in \mathbb{Z}_p[x]$ ossia la "proiezione" (è una proiezione?) in $\mathbb{Z}_p[x]$ e dire che visto che in ...
Buonasera innanzitutto.
Scrivo il testo e la mia parziale soluzione di questo esercizio:
Testo:
Sia $\sigma\ in S13$ la permutazione
$\sigma\ =((1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13), (9 , 12 , 13 , 6 , 7 , 11 , 2 , 3 , 4 , 10 , 1 , 5 , 8))$
(1) Si scriva $\sigma$ come prodotto di cicli disgiunti, si determinino l'ordine e la parità di $\sigma$.
(2) Si determinino tutti gli interi k tali che $\sigma\^k = (2,5)(7,12)$.
Riguardo al punto (1) non ho avuto problemi:
Cicli disgiunti:
$\sigma\=(1,9,4,6,11)(2,12,5,7)(3,13,8)$.
Ordine:
è il minimo comune multiplo delle lunghezze dei cicli disgiunti, ...
Dimostrare che nessun gruppo G con $|G|=72$ e' semplice
Ho calcolato i p-Sylow e sono arrivata alla conclusione che:
2-sylow = 1
3
9
3-Sylow= 1
4
Se 2-Sylow o 2-Sylow e' unico allora questo sara' normale e G non sara' semplice.
Ipotizzo che i 2-Sylow siano 9 quindi ho che se l'intersezione tra tutti e' banale allora vale la formula che
|{unione dei 2-sylow}|=$7 x 9 + 1$ quindi avrei che la cardinalita' dell'unione e' 64 e che ...
Buonasera a tutti!
Ero alle prese con questo esercizio: "Calcolare $Aut(ZZ_(/20ZZ) xx ZZ_(/2ZZ))$"
Credo che sia utile in questo problema ricordare questi due fatti:
1) Se $G=H xx K$ con $(|H|,|K|)=1$ allora $H$ e $K$ sono caratteristici in $G$
2) $Aut(ZZ_(/nZZ)) ~= (ZZ_(/nZZ))^(ast)$
Detto ciò mi sono ricondotto a studiare $Aut(ZZ_(/2ZZ) xx ZZ_(/4ZZ)) xx (ZZ_(/5ZZ))^(ast)$
Poi ho iniziato ad analizzare $G=ZZ_(/2ZZ) xx ZZ_(/4ZZ)$. Posso mandare i due generatori $(1,0)$ (che ha ordine 2) e ...
Buongiorno amici, sto studiando gli spazi vettoriali, e durante il percorso ho incontrato questa definizione di insieme massimale rispetto alla proprietà p.
Sul mio libro di testo viene definita nel modo seguente
Sia \(\displaystyle X \) un sottoinsieme di S, ed X sia munito di una certa proprietà p. Si dice che X è massimale rispetto alla proprietà "p" se ogni insieme Y che contenga propriamente X, non ha più la proprietà "p".
Invece si dice minimale quando
Si dice che \(\displaystyle X \) ...
Salve a tutti, ho bisogno di convertire una formula logica da DNF a CNF, tuttavia non mi ritrovo con il risultato.
La formula in DNF è:
$\phi^{DNF} = $
$(\neg a \wedge \neg b \wedge c) \vee (a \wedge \neg b \wedge \neg c) \vee (\neg a \wedge b \wedge \neg c) $
Per costruire la CNF sono partita dalla tabella e, dato che la formula equivalente è $\neg ((\neg \phi)^{DNF})$ , applicando De Morgan ho ottenuto:
$((\neg \phi)^{DNF}) = ((a \wedge b \wedge c ) \vee (\neg a \wedge \neg b \wedge \neg c) \vee (\neg a \wedge b \wedge c) \vee (a \wedge b \wedge \neg c) \vee (a \wedge \neg b \wedge c) $
$\phi^{CNF} = \neg ((\neg \phi)^{DNF}) = (\neg a \vee \neg b \vee \neg c) \wedge (a \vee b \vee c) \wedge (a \vee \neg b \vee \neg c) \wedge ( \neg a \vee \neg b \vee c) \wedge (\neg a \vee b \vee \neg c)$
Tuttavia, la soluzione dell'esercizio risulta essere
$(a \vee b \vee c) \wedge (\neg b \vee \neg c) \wedge (\neg a \vee \neg c) \wedge (\neg a \vee \neg b)$
Non riesco a capire come ci arriva, sicuramente è una cosa banale ma ...
Salve, ho il seguente esercizio:
'Sia G un gruppo semplice che ammette un sottogruppo tale che $[G]=n$, dimostrare che allora $|G|<n!$'
Io ho ragionato in questo modo:
Considero l'insieme X={insieme delle classi laterali} e prendo l'azione
$G x X-> X$ che corrisponde a dare un omomorfismo $G->S_n$
Ora prendo un sottogruppo normale di G, che, essendo semplice sara' o il banale o tutto.
Prendo $N={e}$ ed avro' quindi $G/{e}->K$ isomorfismo ...
Buonasera,vi chiedo una mano per questo esercizio.
Il testo è il seguente:
Sia G un Gruppo di ordine $3875=5^3 * 31$. Mostrare che G non è semplice, ovvero ha almeno un sottogruppo normale diverso da G e { 1G }. Credo di fare un po' di confusione con i teoremi riguardanti la teoria dei Gruppi.
Grazie in anticipo a chi risponderà.
Salve, qualcuno può consigliarmi sei buoni appunti, video, dispense in italiano o in inglese semplice in cui viene spiegata la procedura dell'algoritmo euclideo esteso? Non trovo nulla, grazie in anticipo
Ciao a tutti!
Stavo svolgendo il seguente (banale) esercizio:
Sia $d=mcd(a,b)=ah+bk$ ($*$) dimostrare che $mcd(h,k)=1$.
Non mi interessa la risoluzione ("canonica") ma, vorrei che trovaste l'errore (!) in questo ragionamento che ho fatto:
Sia $D=mcd(h,k)$ allora $D|h$ e $D|k$ e $D$ divide una qualsiasi combinazione lineare di h e k, in particolare $*$, dunque $D|ah+bk=d$. Da qui se $d\ne 1$ come ...
Salve in questi giorni mi sto addentrando nel mondo del calcolo combinatorio,ovviamente prima di chiedere in questo topic ho letto parecchio e mi sono informato ma vorrei avere un'ulteriore conferma.
La disposizione tiene conto sia del fatto che i vari sottoinsiemi di K elementi debbano essere ordinati (quindi due insiemi con gli stessi elementi sono differenti se i loro elementi sono posizionati in maniera differente) e sia del fatto che essi contengano elementi differenti (tranne nel caso ...
Salve, ho il seguente esercizio:
"Sia G un gruppo e sia H un suo sottogruppo tale che $[G]=n$. Dimostrare che H contiene un sottogruppo N normale in G, con la proprieta' che $[G]$ divide $n!$ e come suggerimento ho di considerare l'azione di G sulle classi laterali sinistre di H.
Io ho preso l'insieme $X={g_1H, g_2H....g_nH}$ e ho costruito l'azione $G x X -> X$ tale che $(g,x)->gx=gxH$ che e' a sua volta una classe laterale sinistra. E ora?
buonasera,
Mi chiedevo se esistesse qualche regola o algoritmo che mi permetta di ricavare facilmente i divisori di un numero molto grande.
So che è possibile tramite la scomposizione in numeri primi.
ma prendiamo per esempio il numero 1234567890, tramite la scomposizione avrò che 1234567890= 2 x 3^2 x 5 x 3607 x 3803.
c'è qualche regola che mi permetta di sapere che un determinato numero avrà i divisori entro un range specifico?
spero di essermi spiegata al meglio.
Salve ragazzi! Perdonatemi se la domanda sarà molto stupida, ma non riesco a venirne a capo: in virtù della definizione di campo, sul mio libro di algebra leggo che nessun polinomio di grado maggiore di 0 è invertibile. Ma perché??? Il libro dice che se i gradi di due polinomi sono m ed n, una volta moltiplicati, si avrà dunque m+n, da cui la conclusione della non invertibilità, ma mi chiedo: se m fosse 1 ed n fosse -1, cioè se ho un polinomio p(x) ed un suo inverso p(x)^-1, il loro prodotto ...
Ciao, non riesco proprio ad impostare questo esercizio, penso mi manchi la creatività...
Riporto la consegna:
Sia K un campo, dove le operazioni sono indicate con gli usuali
simboli +, ·. Partendo dalle 9 proprietà date nella definizione di campo, dimostrare che:
- Se l’elemento neutro della somma è anche elemento neutro del prodotto, allora
il campo ha un solo elemento. (Una volta dimostrato questo, siamo autorizzati
ad usare due simboli diversi per indicarli, ovvero 0, 1.)
Buongiorno, ho un dubbio di algebra 1
In un esercizio ho due gruppi, $Z_3$ e $Z_4$ e ho bisogno di trovare la loro intersezione.
Io ho pensato che questa sia $0$ in quanto mi viene spontaneo dire che $[1]_3$ e' diverso da $[1]_4$. E' corretto?
In merito ad esercizi su induzione mi capita a volte di dimostrare vera che $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ ma con una parte della dimostrazione diversa dalla soluzione riportata nel testo.
Ad esempio: dimostrare che $\forall n \in \mathbb{N}$ e $n \geq 3, \ n^2>2n+1$.
i) passo base, con $n=3, \ P(3)$ è vera, $3^2=9>7=2 \cdot 3+1$
ii) passo induttivo, suppongo vera l'ipotesi per cui $n^2>2n+1$ e provo la tesi per $(n+1)$, cioè che :$(n+1)^2>2(n+1)+1$
$(n+1)^2=n^2+2n+1>(2n+1)+2n+1=4n+2>2(n+1)+1=2n+3$
Ora qui prendo una strada ...
Ciao a tutti, sono nuovo nel sito! Sto preparando l'esame di discreta ma sto avendo non poche difficoltà.
MI sapreste aiutare con questo esercizio? Sia R* l'insieme dei numeri reali diversi da 0. Sia R = {(a,b)∈R*xR*, esiste x∈R* tale che b=ax^2. Devo stabilire se è riflessiva, simmetrica e transitiva. In generale più o meno ho capito le tre regole ma ho difficoltà a adeguarmi con le diverse tipologie di esercizi. Spero possiate aiutarmi! grazie!
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