Dubbio esercizio su Sylow

[nick_10]

Ciao a tutti! Ho un problema nello svolgimento di questo esercizio:“Sia $G$ un gruppo di ordine $5^2 * 7*17$ Mostrare che:
a)Mostrare che $G$ ha un 5-Sylow $S$ normale
b) $S sub Z(G)$

Il primo punto è facile. Basta ricordare che il numero dei 5-Sylow è congruo ad 1 mod 5 e divide $7*17$. L’unica possibilità dunque per l’indice $S$ è 1 e quindi $S$ è normale. Per il secondo invece ho notato che $|S|=25$, quindi
$S=ZZ_25$ o $S=(ZZ_5)^2$. Un suggerimento mi fa considerare $|Aut(S)|$ e vedere che in entrambi casi 7 e 17 non dividono $|Aut(S)|$. Da qui la tesi.
Io però non riesco a coglierne il passaggio logico

[Studente Anonimo]

$S$ è normale, quindi hai l'azione di coniugio di $G$ su $S$, che è un omomorfismo [tex]f:G \to A = \mbox{Aut}(S)[/tex] dove $A=\mbox{Aut}(S)$ è il gruppo degli automorfismi di $S$ (cioè gli omomorfismi biiettivi $S to S$).

Ora come hai detto ci sono due possibilità per $S$, se $S=ZZ_{25}$ allora $|A| = phi(25) = 20$, se invece $S=ZZ_5 xx ZZ_5$ allora $|A|=480$ (nel secondo caso $A=GL(2,5)$ quindi $|A| = (5^2-1)(5^2-5)$, si tratta di scegliere la prima colonna non nulla della matrice e poi la seconda non proporzionale alla prima). In entrambi i casi $7$ e $17$ non dividono $|A|$, quindi l'immagine di $f$ ha ordine non divisibile per $7$ né per $17$. Questo implica (per il teorema di isomorfismo) che i $7$-Sylow e i $17$-Sylow sono contenuti nel nucleo di $f$. Riesci a concludere?