Centralizzatore e normalizzatore di una permutazione
Salve! Ho dei problemi con questo esercizio e non sono sicuro di alcune cose
"Sia $sigma=(12345) in S_6$. Determinare $Z(sigma)$, $N()$, $N(N()$"
Allora ho iniziato con il centralizzatore, calcolandone la cardinalità
$|Z(sigma)|=|S_6|/|Cl(sigma)|=5$. In più detto $H=$ ho che $|H|=5$ e $H sub Z(sigma)$, dunque $H=Z(sigma)$.
Fin qui (credo!) dovrebbe andar bene.
I miei problemi sono per il normalizzatore. So calcolarne la cardinalità, ma trovarlo è sempre un po un mio problema
So che $sigma$ ha ordine 5, dunque le $sigma^(i)$ a lei coniugate sono quelle tali che $(i,5)=1$.
Magari $N()$ potrebbe essere l'unione di $Z(sigma)$ e dell'insieme $ {tau | tau sigma tau^-1= sigma^(i)}$ con $i in{2,3,4}$
"Sia $sigma=(12345) in S_6$. Determinare $Z(sigma)$, $N(
Allora ho iniziato con il centralizzatore, calcolandone la cardinalità
$|Z(sigma)|=|S_6|/|Cl(sigma)|=5$. In più detto $H=
Fin qui (credo!) dovrebbe andar bene.
I miei problemi sono per il normalizzatore. So calcolarne la cardinalità, ma trovarlo è sempre un po un mio problema
So che $sigma$ ha ordine 5, dunque le $sigma^(i)$ a lei coniugate sono quelle tali che $(i,5)=1$.
Magari $N(
Risposte
Hai detto che sai calcolare l'ordine del normalizzatore. Se lo fai dovrebbe risultarti che tale ordine è $20$. D'altra parte $sigma$ (che ha ordine $5$) deve appartenere a tale normalizzatore quindi quello che ti manca da trovare è un sottogruppo di ordine $4$ contenuto nel normalizzatore. Prova a considerare l'elemento $(2354)$.
Ok. Sì l'ordine è 20 e avevo trovato $eta=(2354)$ tale che $eta(12345)eta=(13524)=sigma^2$. Quindi il normalizzatore è dato dall'unione tra il centralizzatore e il sottogruppo generato da $eta$?
No, è dato dal loro prodotto 
Si scusa giusto! Quindi ora ho $H=$ e $K=$ e $N()=HK$. Ora devo trovare $N(HK)$. Mi verrebbe da comporre $sigma$ con $eta$...
Devi trovare il normalizzante del normalizzante? Perché?
Abbiam detto che il normalizzante di $sigma$ è dato dal prodotto $HK$ che volevo caratterizzare in qualche modo per trovare il suo normalizzante. Ecco perchè pensavo alla composizione dei cicli
Scusa non credo di aver capito
L'hai trovato: il normalizzatore di $$ è $HK$. Fine. No?
Vuoi descrivere "meglio" $HK$? Si tratta di un prodotto semidiretto [tex]H \rtimes K[/tex]. Ha ordine $20$. Se vuoi puoi pure elencarne gli elementi. Se questo non ti chiarisce i dubbi allora non capisco cosa intendi con "caratterizzare".
"nick_10":
I miei problemi sono per il normalizzatore. So calcolarne la cardinalità, ma trovarlo è sempre un po un mio problema
L'hai trovato: il normalizzatore di $
Vuoi descrivere "meglio" $HK$? Si tratta di un prodotto semidiretto [tex]H \rtimes K[/tex]. Ha ordine $20$. Se vuoi puoi pure elencarne gli elementi. Se questo non ti chiarisce i dubbi allora non capisco cosa intendi con "caratterizzare".
Fino a qui ci sono. E che il testo mi chiedeva anche $N(N())$
Ah ok scusa non avevo letto!
Beh è un fatto generale che se $H$ è un $p$-sottogruppo di Sylow di $G$ (come nel tuo caso) allora $N(N(H))=N(H)$.
Te lo dimostro in generale.
E' chiaro che $N(H)$ è contenuto in $N(N(H))$, basta mostrare l'altra inclusione.
Sia $g in N(N(H))$. Allora $N(H)^g=N(H)$. Ovvero $N(H^g)=N(H)$. Segue che $H^g$ è contenuto in $N(H)$. Quindi $H^g$ è un $p$-sottogruppo di Sylow di $N(H)$ (essendo un $p$-Sylow di $G$). D'altra parte anche $H$ è un $p$-Sylow di $N(H)$.
Per il teorema di Sylow esiste $t in N(H)$ tale che $H^g=H^t$. Segue che [tex]H^{gt^{-1}} = H[/tex], ovvero [tex]gt^{-1} \in N(H)[/tex] cioè $g in N(H)t$. Ma essendo $t in N(H)$ abbiamo $N(H)t = N(H)$ quindi $g in N(H)$.
Beh è un fatto generale che se $H$ è un $p$-sottogruppo di Sylow di $G$ (come nel tuo caso) allora $N(N(H))=N(H)$.
Te lo dimostro in generale.
E' chiaro che $N(H)$ è contenuto in $N(N(H))$, basta mostrare l'altra inclusione.
Sia $g in N(N(H))$. Allora $N(H)^g=N(H)$. Ovvero $N(H^g)=N(H)$. Segue che $H^g$ è contenuto in $N(H)$. Quindi $H^g$ è un $p$-sottogruppo di Sylow di $N(H)$ (essendo un $p$-Sylow di $G$). D'altra parte anche $H$ è un $p$-Sylow di $N(H)$.
Per il teorema di Sylow esiste $t in N(H)$ tale che $H^g=H^t$. Segue che [tex]H^{gt^{-1}} = H[/tex], ovvero [tex]gt^{-1} \in N(H)[/tex] cioè $g in N(H)t$. Ma essendo $t in N(H)$ abbiamo $N(H)t = N(H)$ quindi $g in N(H)$.
Grazie mille! Tutto chiaro
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