Dubbio nella classificazione di un gruppo

[nick_10]

Ciao! Stavo classificando i gruppi $G$ di ordine 52 ed è nato un dubbio in questo punto. Stavo studiando il prodotto semidiretto $K rtimes H ~= ZZ_13 rtimes ZZ_4$ con $K$ 13-Sylow normale in $G$ e $H$ 2-Sylow. $1 in ZZ_4$ può andare in $3$ o $6$ in $ZZ_12 ~= Aut(ZZ_13)$ attraverso la $phi$ che definisce il prodotto semidiretto. Per verificare che i due gruppi cosi ottenuti non sono isomorfi volevo studiare il nucleo( infatti un elemento $(h,k) in K rtimes H=G$ è nel centro di $G$ se e solo se $h in Ker phi)$
Non riesco però a studiare il nucleo di $phi$. Sarà una sciocchezza alla fine ma ora come ora non riesco a vedere la soluzione

[Shocker1]

Un automorfismo di $\mathbb{Z_13}$ è una moltiplicazione per un elemento di $\mathbb{Z_13}^{**}$, cioè manda $x \in \mathbb{Z_13}$ in $ax$, con $a \in \mathbb{Z_13}^{**}$ fissato. Sapendo ciò puoi individuare gli automorfismi il cui ordine divide $4$ e quindi studiare il nucleo di $\phi$, per esempio considera $\phi: \mathbb{Z_4} \to Aut(\mathbb{Z_13})$ che manda $1$ in $\psi:\mathbb{Z_13} \to \mathbb{Z_13}$ tale che $\psi(x) = -x$. Allora $\phi(2) = \psi^2 = id$ e quindi $Ker(\phi)= {0, 2}$.
Se invece vedi $Aut(\mathbb{Z_{13}})$ come $\mathbb{Z_12}$ allora il meccanismo è identico: mandi $1$ in un elemento il cui ordine divide $4$ e studi l'equazione $\phi(x) = 0$, per esempio se mandi $1$ in $[6]_(12)$ hai che $\phi(2) = 0$, etc.

Oppure puoi fare il seguente ragionamento: se $1$ viene mandato in un elemento di ordine $4$ allora il nucleo è banale, se viene mandato in un elemento di ordine $2$ allora il nucleo è necessariamente ${0, 2}$, se invece mandi tutto in $0$ il nucleo è tutto il gruppo. E quindi basta studiare l'ordine dell'immagine per capire chi è il nucleo.

[nick_10]

Grazie alla fine non era difficile...l'influenza faceva il suo effetto xD