Dimostrare che un sottogruppo è massimale
Ciao a tutti non riesco a capire una piccola cosa in questa dimostrazione:
DIMOSTRAZIONE
Considero l'azione $G\times\mathbb(P)_1(\mathbb(Z)_p)->\mathbb(P)_1(\mathbb(Z)_p)$ questa azione è doppiamente transitiva e $B$ è lo stabilizzatore di $[[1],[0]]$
Se $B
Allora... L'esistenza di $\gamma$ penso derivi dalla transitività dell'azione ma perché appartiene a $B$???
Sia $p$ un primo, sia $G=PSL(2,\mathbb(Z)_p)$ e sia $B={((a,b),(0,a^-1)):a,b\in\mathbb(Z)_p}$ un suo sottogruppo. Dimostrare che $B$ è massimale in $G$. In altre parole, se $H$ è un sottogruppo di $G$ contenuto in $B$, allora $H=B$ oppure $H=G$
DIMOSTRAZIONE
Considero l'azione $G\times\mathbb(P)_1(\mathbb(Z)_p)->\mathbb(P)_1(\mathbb(Z)_p)$ questa azione è doppiamente transitiva e $B$ è lo stabilizzatore di $[[1],[0]]$
Se $B
Allora... L'esistenza di $\gamma$ penso derivi dalla transitività dell'azione ma perché appartiene a $B$???
Risposte
Un'azione transitiva di $G$ su un insieme $Omega$ è $2$-transitiva se e solo se, detto $B$ lo stabilizzatore di un elemento (qualsiasi) $alpha$ di $Omega$, l'azione di $B$ indotta su $Omega-\{alpha\}$ è transitiva.
E' questo il fatto che è stato usato. Siccome $P$ e $Q$ sono entrambi diversi da [tex]\alpha = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right][/tex] allora esiste un $gamma$ come dici con la proprietà di appartenere a $B$ (per la transitività di $B$ su $Omega-\{alpha\}$).
Ora che io ti abbia risposto o meno dipende da cosa sai sulle azioni 2-transitive
(e anche dalla tua definizione di azione 2-transitiva, di solito io come definizione prendo quella che ti ho scritto qui sopra).
E' questo il fatto che è stato usato. Siccome $P$ e $Q$ sono entrambi diversi da [tex]\alpha = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right][/tex] allora esiste un $gamma$ come dici con la proprietà di appartenere a $B$ (per la transitività di $B$ su $Omega-\{alpha\}$).
Ora che io ti abbia risposto o meno dipende da cosa sai sulle azioni 2-transitive
(e anche dalla tua definizione di azione 2-transitiva, di solito io come definizione prendo quella che ti ho scritto qui sopra).
Anzi scusa, più semplicemente: siccome l'azione è 2-transitiva esiste $gamma$ che manda $alpha$ in $alpha$ e $P$ in $Q$. Fine no?
Grazie mille!
Praticamente non so nulla sulle azioni $2$-transitive...
Il professore ci voleva mostrare che $PSL(2,\mathbb(Z)_p) $ è semplice. Ha così introdotto l'azione $ \varphi: G\times\mathbb(P)_1(\mathbb(Z)_p)->\mathbb(P)_1(\mathbb(Z)_p) $ e ci ha fatto notare che presi due punti (distinti) di tale insieme, l'azione di un $g\inG$ su tali punti mi dava due punti distinti e ci ha detto che questo vuol dire che agisce in modo doppiamente transitivo. Praticamente non ci ha dato una definizione precisa...
Poi cercando un po su internet ho trovato una definizione che mi sembravo molto simile al concetto da lui espresso ossia:
Ora quindi mi basta verificare che questa definizione è equivalente a quella da te espressa, proverò a farlo come esercizio!
Volevo anche verificare che effettivamente $varphi$ fosse $ 2 $-transitiva con questa definizione che ho trovato ma non ci sono riuscito
Questo fine settimana proverò di nuovo...
UPDATE: Con il secondo commento è ancora più semplice e non necessito di verificare l'equivalenza delle definizioni perché usare la mia definizione, grazie ancora!
Praticamente non so nulla sulle azioni $2$-transitive...
Il professore ci voleva mostrare che $PSL(2,\mathbb(Z)_p) $ è semplice. Ha così introdotto l'azione $ \varphi: G\times\mathbb(P)_1(\mathbb(Z)_p)->\mathbb(P)_1(\mathbb(Z)_p) $ e ci ha fatto notare che presi due punti (distinti) di tale insieme, l'azione di un $g\inG$ su tali punti mi dava due punti distinti e ci ha detto che questo vuol dire che agisce in modo doppiamente transitivo. Praticamente non ci ha dato una definizione precisa...
Poi cercando un po su internet ho trovato una definizione che mi sembravo molto simile al concetto da lui espresso ossia:
Un'azione transitiva di $ G $ su un insieme $ X$ è $ 2 $-transitiva se e solo se, l'azione di $G$ su ${(x,y)\inX^2:x\ney}$ è transitiva.
Ora quindi mi basta verificare che questa definizione è equivalente a quella da te espressa, proverò a farlo come esercizio!
Volevo anche verificare che effettivamente $varphi$ fosse $ 2 $-transitiva con questa definizione che ho trovato ma non ci sono riuscito
Questo fine settimana proverò di nuovo...UPDATE: Con il secondo commento è ancora più semplice e non necessito di verificare l'equivalenza delle definizioni perché usare la mia definizione, grazie ancora!
Ho scritto un ulteriore messaggio qui sopra, prova a dargli un'occhiata. Il fatto che $gamma$ può essere scelto in $B$ è immediato dalla definizione di azione 2-transitiva. Inoltre potresti darmi del tu? Grazie ciao
ciao
Un'ultima cosa:
Se $N$ è un sottogruppo normale di $G$ non contenuto in $B$, ora che ho mostrato che $B$ è massimale perché posso concludere che $G=BN$?
Se $N$ è un sottogruppo normale di $G$ non contenuto in $B$, ora che ho mostrato che $B$ è massimale perché posso concludere che $G=BN$?
Perché $BN$ è un sottogruppo di $G$ che contiene $B$ propriamente.
"Martino":
Perché $BN$ è un sottogruppo di $G$ che contiene $B$ propriamente.
Oddio scusami sono scemo... Non ci avevo proprio pensato
Grazie ancora
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