Esercizio:equazioni in $S_n$
Ciao 
Ero alla prese con questo esercizio che chiede di risolvere delle equazioni in $S_n$
"Trovare le $sigma$ tali che:
a) $sigma in S_10$ verifichi $sigma^3=(1234)(56)$
b) $sigma in S_8$ verifichi $sigma^3=(13578)$
c) $sigma in S_8$ verifichi $sigma^6=(12)(34)$
Partendo dal primo:
So che l'ordine di $sigma^3$ è uguale a 4, dunque $sigma^12=id$, da cui $o(sigma) | 12$. Ho studiato le terze potenze di un qualsiasi 2,3,4 e 6-ciclo e deduco che non possono essere presenti nella decomposizione in cicli di $sigma$ un 6 ciclo e un 3 ciclo. Dunque nella mia decomposizione avrei un 4-ciclo che elevato alla terza resta un 4-ciclo(come nel testo dell'equazione) e un 2-ciclo. Essendo in $S_10$ potrei completare "lo spazio rimasto" con un 3-ciclo? I miei ragionamenti sono errati?
Ero alla prese con questo esercizio che chiede di risolvere delle equazioni in $S_n$
"Trovare le $sigma$ tali che:
a) $sigma in S_10$ verifichi $sigma^3=(1234)(56)$
b) $sigma in S_8$ verifichi $sigma^3=(13578)$
c) $sigma in S_8$ verifichi $sigma^6=(12)(34)$
Partendo dal primo:
So che l'ordine di $sigma^3$ è uguale a 4, dunque $sigma^12=id$, da cui $o(sigma) | 12$. Ho studiato le terze potenze di un qualsiasi 2,3,4 e 6-ciclo e deduco che non possono essere presenti nella decomposizione in cicli di $sigma$ un 6 ciclo e un 3 ciclo. Dunque nella mia decomposizione avrei un 4-ciclo che elevato alla terza resta un 4-ciclo(come nel testo dell'equazione) e un 2-ciclo. Essendo in $S_10$ potrei completare "lo spazio rimasto" con un 3-ciclo? I miei ragionamenti sono errati?
Risposte
Dovrebbe essere vero che $\sigma^k=\tau$ ha soluzione in $S_n$ se e solo se il numero di cicli di stessa lunghezza congrua a $i$ modulo $k$ è congruo ad $i$ modulo $k$. Un algoritmo per generare queste radici $k$-esime è un po' complicato da scrivere.
Probabilmente però c'è un modo più semplice?
Probabilmente però c'è un modo più semplice?
Ho continuato a svolgere qualcosa dell'esercizio.
$sigma^3=(13578)$. Questo implica che ord$(sigma^3)=5$ da cui $sigma^15=id$.Quindi l’ordine di $sigma$ divide 15.
Studiando le terze potenze di un 3-ciclo e di un 5-ciclo ho che un 3-ciclo alla terza fa l’identità, mentre un 5-ciclo
$(abcde)^3=(adbec)$. Dunque mettendo tutto insieme e ricordando che $sigma in S_8$ ho le tre possibili:
$sigma_1=(15837) ; sigma_2=(15837)(246); sigma_3=(15837)(264)$.
Invece: $sigma^6=(12)(34)$ Qui per la precisione devo contare le possibili sigma. Con ragionamenti analoghi ho che ord($sigma$) divide 12. Studiando le seste potenze ho che un 4-ciclo $(abcd)^6=(ac)(bd)$ da cui deduco che nella decomposizione di $sigma$ compare il 4-ciclo $(1324)$. Essendo in $S_8$ posso aggiungere al massimo un 2-ciclo, o due due cicli, o un 3-ciclo. Quindi per concludere conto quanti sono in $S_8$ i 2 cicli e i 3-cicli.Sbaglio?
$sigma^3=(13578)$. Questo implica che ord$(sigma^3)=5$ da cui $sigma^15=id$.Quindi l’ordine di $sigma$ divide 15.
Studiando le terze potenze di un 3-ciclo e di un 5-ciclo ho che un 3-ciclo alla terza fa l’identità, mentre un 5-ciclo
$(abcde)^3=(adbec)$. Dunque mettendo tutto insieme e ricordando che $sigma in S_8$ ho le tre possibili:
$sigma_1=(15837) ; sigma_2=(15837)(246); sigma_3=(15837)(264)$.
Invece: $sigma^6=(12)(34)$ Qui per la precisione devo contare le possibili sigma. Con ragionamenti analoghi ho che ord($sigma$) divide 12. Studiando le seste potenze ho che un 4-ciclo $(abcd)^6=(ac)(bd)$ da cui deduco che nella decomposizione di $sigma$ compare il 4-ciclo $(1324)$. Essendo in $S_8$ posso aggiungere al massimo un 2-ciclo, o due due cicli, o un 3-ciclo. Quindi per concludere conto quanti sono in $S_8$ i 2 cicli e i 3-cicli.Sbaglio?
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