Ideali primi e massimali

[ludovica.sarandrea]

Buonasera,
ho un esercizio che mi chiede di stabilire se l'ideale I di $Z[x]$ e' primo, massimale o nessuno dei due
l'ideale $I=(x^2+1,2)$
Io ho fatto in questo modo: controllo se $(Z[x])/I$ e' un campo o un dominio e a quel punto l'esercizio e' finito.
Ho percio' considerato $(Z[x])/(x^2+1,2)$=$(Z_2[x])/(x^2+1)$
A questo punto ho che $x^2+1=x^2-1$ trovandomi in $Z_2$ e quindi ho che
$x^2-1=(x-1)(x+1)=(x-1)^2$ sempre in $Z_2$
Arrivati a questo punto come posso andare avanti per semplificarmi le cose??
(Ogni volta che si incontra un uguale si tratta in realta' di un'isomorfismo ma non so come fare il simbolo)

[killing_buddha]

Il quoziente non è un dominio di integrità (c'è un nilpotente, esattamente $X-1$), quindi l'ideale non era né primo né massimale.

[ludovica.sarandrea]

Ok, grazie

[ludovica.sarandrea]

Sempre lo stesso esercizio mi chiede di valutare ora con l'ideale $I=(x^2+1,5)$ e quindi ottengo
$R/I=(ZZ_5[x])/(x^2+1)$
Io so che $ZZ_5[x]$ e' un dominio ad ideali principali e devo vedere se $x^2+1$ e' irriducibile in $ZZ_5$
Sono arrivata a vedere che non lo e' e che quindi posso scrivere $(x^2+1)=(x-3)(x-2)$ a questo punto quindi ho che $(ZZ_5[x])/(x^2+1)$ non puo' essere un campo.
Come posso dedurre se $(ZZ_5[x])/(x^2+1)$ e' un dominio e quindi I e' un primo??
Io ho pensato che essendo $(x-3)(x-2)=(x^2+1)=0$ ha dei divisori dello zero e quindi non puo' neanche essere un dominio. E' corretto?
E se cosi fosse mi sorge spontanea un'altra domanda. Ogni qual volta io ho un ideale riducibile e quindi ho che $R/I$ non e' un campo, seguendo il mio ragionamento questo non dovrebbe essere neanche un dominio? Questa cosa non mi sembra corretta

[killing_buddha]

I massimale iff R/I campo;
I primo iff R/I integro.

[ludovica.sarandrea]

Questo lo so, la mia domanda infatti era un'altra....

[Studente Anonimo]

Se $k$ è un campo allora ogni ideale primo non nullo di $k[X]$ è massimale. Quindi se $I$ è un ideale non nullo di $A=k[X]$ allora $A//I$ è campo se e solo se è dominio. Ma questo vale specificamente per $k[X]$. Osserva che un controesempio a quello che dici è appunto dato dall'ideale nullo $I={0}$, in questo caso $k[X]//I = k[X]$ è un dominio ma non è un campo. Un esempio più interessante è dato da $A=ZZ[X]$ e $I=(X)$, qui $A//I$ è isomorfo a $ZZ$ quindi è un dominio ma non è un campo.

[ludovica.sarandrea]

Grazie, sempre chiarissimo