Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Buonasera, parlando di rappresentazioni di gruppi il mio professore ha fatto il seguente esempio. $S_3=G$ agisce su $R^3$ prendo $σ(123)$ e quindi ho $σ(e_1)=e_2$ $σ(e_2)=e_3$ $σ(e_3)=e_1$ quindi la rappresentazione e' $σ -> $(0 0 1 1 0 0 0 1 0 ) (dovrebbe essere una matrice) Sapreste spiegarmi cosa fa in questo ...

Buongiorno, ho il seguente esercizio: "Sia $n ≥ 2$. Sia $H ⊂ Sn$ un sottogruppo transitivo (l’azione di H su {1, 2, . . . , n} ha un’unica orbita), dimostrare che H contiene un elemento senza punti fissi" come suggerimento mi e' stato detto di usare la formula di Burnside e allora ho ragionato in questo modo La formula di Burnside mi dice che $|orb(H)|=1/|H| sum_(g∈H) (fix(g))$ Ho posto quindi $|H|=t$ inoltre so che essendo transitivo $|orb(H)|=1$ quindi che ...

Ho sempre pensato che la definizione di numero primo sia solo una definizione e non un vero e proprio teorema. cioè ciò che mi è sempre stato propinato è che def se $p>1$ Allora $p$ si dice primo se ogni qualvolta che presi $a,b in ZZ$ si ha che $p|ab=> p|a vv p|b$ ma leggo esplicitamente qui-->http://it.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Euclide che questo non è nient'altro che il primo teorema di Euclide, e che si può dedurre facilmente dal lemma di Euclide Se ...

Salve, sono qui in cerca di aiuto, ho iniziato da poco lo studio dei gruppi e sto cercando di risolvere alcuni esercizi trovati su internet. Dovrei dimostrare se $H$ é un sottogruppo di $Z^2$ $H={ ( x,y )|x+y=1 }$ Allora: 1)l'elemento neutro non ho dubbi: $(e_Z, e_Z)=(0,0)$ 2)Associativitá: devo verificare che $(x,y)*(t,z)=1*(t,z) in H$ In base alla definizione: $(x+y)+(t+z)=1+(t+z) rArr x+y+t+z=1+t+z !in H$ 3)elemento inverso: $(x,y)'=(x', y' ) = (-x,-y) !in H$ Infatti $(x,y)*(-x,-y)!=1$ Posso concludere che ...

Lemma: se $H$ é un sottoinsieme finito di un gruppo $G$ e $H$ é chiuso rispetto alla moltiplicazione, allora $H$ é un sottogruppo di $G$ Tralascio la dimostrazione(Se $ x in H$, allora $ x^2, x^3...in H$ per via della chiusura di $H$).... e provo a fare un esempio pratico : Prendiamo il gruppo moltiplicativo $Z_5$ e consideriamo le potenze di $x=2$ Tra queste ci saranno per ...

Buonasera, devo dimostrare che due funzioni sono omomorfismi di gruppi. Le funzioni in questione sono: $\phi: (D_n, \circ)-> (GL(2,RR),\cdot): g \mapsto \phi(g)=<br /> \{( ((cos((2\pi)/n),-sin((2\pi)/n)),(sin((2\pi)/n),cos((2\pi)/n))) \text{ se } g=R_((2\pi)/n)),(((1,0),(0,-1)) \text{ se } g=S):}$ Mia idea: Devo far vedere che $\phi(R_((2\pi)/n)S)=\phi(R_((2\pi)/n))\phi(S)$ Ora è chiaro che $\phi(R_((2\pi)/n))\phi(S)=((cos((2\pi)/n),-sin((2\pi)/n)),(sin((2\pi)/n),cos((2\pi)/n)))((1,0),(0,-1))=((cos((2\pi)/n),sin((2\pi)/n)),(sin((2\pi)/n),-cos((2\pi)/n)))$ ma non so come calcolare $\phi(R_((2\pi)/n)S)$, intuitivamente l'omomorfismo è chiaramente vero ma non so come scriverlo formalmente $\rho: (S_n, \circ)-> (GL(n,RR),\cdot): g \mapsto \rho_2(\sigma)=(e_(\sigma(1))...e_(\sigma(n)))$ Mia idea: Devo far vedere che $\rho(\sigma_1\sigma_2)=\rho(\sigma_1)\rho(\sigma2)$ Ora è chiaro che $\rho(\sigma_1\sigma_2)=(e_(\sigma_1(\sigma_2(1)))...e_(\sigma_1(\sigma_2(n))))$ mentre $\rho(\sigma_1)\rho(\sigma_2)=(e_(\sigma_1(1))...e_(\sigma_1(n)))(e_(\sigma_2(1))...e_(\sigma_2(n)))$ ma non so come far vedere in modo ...

Ciao Ragazzi mi trovo in difficoltà con un esercizio, ovvero: calcolare il resto della divisione per 3 di \(\displaystyle 5^{427} \) il mio ragionamento è stato questo (che poi l'ho preso dal libro): la divisione di \(\displaystyle 5^{427} \) per 3 è come dire \(\displaystyle 5^{427} mod 7 \) osservo che \(\displaystyle 5 \equiv 2 mod 3 \) quindi posso dire che \(\displaystyle 5^{427} \equiv 2^{427} mod 3 \) a questo punto dato che il MCD(2,3)=1 grazie ad un corollario del piccolo teorema ...

Salve ragazzi,nello soluzione di questo esercizio arrivo ad un punto in cui non riesco ad andare avanti. Precisamente non capisco l'ultima parte,una volta scritto (n+1)! in maniera diversa,cosa accade? Perchè dopo il segno maggiore/uguale ci sta (n+1) ecc? Potreste spiegarmelo,grazie tante!

Buonsalve a tutti, avrei un problema tecnico da sottoporvi u.u Oggi ho avuto la mia prima lezione di logica matematica e il professore ha indicato come libro di testo "elementi di logica matematica" di M. Borga. Il mio problema è che tale libro è quasi introvabile, volevo quindi chiedervi se conoscete qualche altro testo simile a quello sopra citato. Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto

Ciao a tutti, sto preparando un esame di Complementi di Algebra, ma sto avendo delle difficoltà nella comprensione di alcuni argomenti. Inizio con il primo dubbio: Una proposizione afferma che , dato $F(\alpha)$ un'estensione semplice di un campo $F$ e $\Omega$ un secondo campo contenente $F$: -se $\alpha$ è trascendente allora $\forall$ $F$-omomorfismo $\varphi: F(\alpha) \to \Omega $, $\varphi(\alpha)$ è trascendente su ...

C'è un problema di estensioni di campi che non riesco a risolvere, sebbene dovrebbe essere facile (a quanto dice il mio professore), perciò vi chiedo aiuto. Consideriamo un campo $F$ e il campo delle funzioni razionali a coefficienti in $F$, $F(x)$ prendiamo adesso un campo $K$ diverso da $F$ tale che $F<=K<=F(x)$, dimostrare che l'estensione $F(x)|K$ è algebrica. Io sono partito considerando un elemento di ...

Sia $ξ ∈ C$ una radice del polinomio $x^2 + x + 5$ . Trovare, oppure dimostrare che non esistono, due numeri razionali a, b tali che $(a + bξ)(1 − ξ) = 1$. qualcuno saprebbe darmi una mano per questo esercizio? grazie mille [xdom="Martino"]Spostato in Algebra[/xdom]

Salve ragazzi, Oggi il professore a lezione ci ha esposto il seguente principio di sostituzione dell'implicazione: - se $ p -> Q $ e $ P $ occorre positivamente in $ R $ allora vale $ R -> R[Q/P] $ ; dove, con $ R -> R[Q/P] $, si intende la formula $ R $ in cui ho sostituito $ Q $ con $ P $. Viceversa -se se $ p -> Q $ e $ P $ occorre negativamente in $ R $ allora vale ...

Ciao a tutti! Ho fatto una dimostrazione per induzione per provare che $NN$ è archimedeo: $forall x,y in NN_0 exists n in NN_0 :nx>y$, dove $NN_0$ è l'insieme dei numeri naturali senza lo zero. Per iniziare so che esiste almeno un $n in NN_0$ tale che $nx>1$: infatti ad esempio $2x>x≥1$. Suppongo a questo punto che sia vero $forall x in NN_0 exists n in NN_0 :nx>y$. Sia a questo punto $tilde{n} in NN_0$ tale che $tilde{n}x>y$. Ho così: $y+1<tilde{n}x+1≤tilde{n}x+x=(tilde{n}+1)x$ ed ho concluso. Può andare bene?

Salve, non so da dove partire. Mi date un input per favore? Grazie Siano A, B e C insiemi arbitrari. • Si dimostri che $A ⊆ B ⇒ (C \setminus B ⊆ C \setminus A)$. • Si dimostri che $(C \setminus B ⊆ C \setminus A) ⇏ A ⊆ B$.

Sia $G $ il gruppo dei numeri reali non nulli rispetto alla moltiplicazione e sia $G'= { 1,-1}$ l'altro gruppo rispetto alla moltiplicazione. Definiamo $G rarr G'$ secondo $phi (×) =1$ se $x$ é positivo, $phi (×) =-1$ se $x$ é negativo. Dimostriamo che si tratta di un omomorfismo. Si deve dimostrare che $phi (×*×)$ = $phi (×)phi (×)$ Prendiamo adesso un $×_1 in G$ negativo: e mandiamolo in ...

Ciao a tutti. In questo periodo mi sto occupando dello studio dei Gruppi di Matrici, in particolare gruppi di matrici reali,complesse e a coefficienti quaternionici. Il testo a cui sto facendo riferimento è "Matrix Groups for Undergraduates" di K.Tapp. In esso, in particolare, viene sviscerato il legame tra i gruppi sopracitati e Tapp evidenzia la proprietà secondo cui tutti i gruppi di matrici possono essere "riguardati" come gruppi di matrici reali. Conoscete altri testi ...

Devo verificare se $G =2×2( ( a , b ),( -b , a ) )$ Dove $a $ e $b$ sono numeri reali entrambi non nulli con l'operazione di prodotto é un gruppo. Qui non ho problemi a farlo. Il problema é quando devo scrivere $( ( a , b ),( -b , a ) )$ come $al + bj $, dove $j=( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) )$ Poi mi chiede anche se mi ricorda qualcosa di familiare. Mi potete fare un esempio di una matrice scritta in quel modo? Poi proseguo io.

Devo dimostrare che, per ogni scelta di $a,b \in \mathbb{Z}$: $a_m + b_m = (a+b)_m$ Se $a,b < m \Rightarrow a,b \in \mathbb{Z}_m $ e l'uguaglianza è immediata. Altrimenti abbiamo: $a=qm+r$ con $ 0<r<m$ e dunque $a \equiv r mod m$ specularmente, $b=q'm+r' $ con $ 0<r'<m$ e $b \equiv r' mod m$ e quindi $(a_m + b_m) \equiv (r+r') mod m$ D'alta parte abbiamo: $(a+b)=qm+r+q'm+r'=qm+q'm+r+r'=m(q+q')+(r+r') $ con $ 0<(r+r')<m $ pertanto $ (a+b) \equiv (r+r') mod m$ e dunque $(a+b)_m \equiv (r+r') mod m$ In conclusione $a_m + b_m = (a+b)_m$ Può andare ? Non devo ...

Quando si parla di gruppi del tipo $G= ZxZ_3$ $G= Z_5xZ_3×Z_7$ Come faccio ad individuare gli elementi? Per esempio in $Z3={[ 0 ][ 1 ][ 2 ]}$