Centralizzante di una permutazione
Testo:
Sia $\sigma\inS_7$ la permutazione
$\sigma\=((1,2,3,4,5,6,7),(3,4,6,7,5,1,2))$
Si scriva $\sigma$ come prodotto di cicli disgiunti, si determinino l'ordine e la parità. Si determini l'ordine del centralizzante $C_(S_7)(\sigma\)$ in $S_7$ di $\sigma$.
La mia soluzione parziale è la seguente:
-Prodotto di cicli disgiunti:
$\sigma_1*\sigma_2=(1,3,6)(2,4,7)$
-Ordine:
$o(\sigma\)=m.c.m(l(\sigma_1),l(\sigma_2))=m.c.m.(3,3)=3$.
-Parità:
$\Delta(\sigma)=\Delta(\sigma_1)*\Delta(\sigma_2)=(1)*(1)=1$. Questo perché cicli di lunghezza dispari sono pari (parità uguale ad 1).
Intanto chiedo se quanto fatto è corretto e poi chiedo una mano per trovare il centralizzante di $\sigma$.
Grazie in anticipo a chi risponderà.
Sia $\sigma\inS_7$ la permutazione
$\sigma\=((1,2,3,4,5,6,7),(3,4,6,7,5,1,2))$
Si scriva $\sigma$ come prodotto di cicli disgiunti, si determinino l'ordine e la parità. Si determini l'ordine del centralizzante $C_(S_7)(\sigma\)$ in $S_7$ di $\sigma$.
La mia soluzione parziale è la seguente:
-Prodotto di cicli disgiunti:
$\sigma_1*\sigma_2=(1,3,6)(2,4,7)$
-Ordine:
$o(\sigma\)=m.c.m(l(\sigma_1),l(\sigma_2))=m.c.m.(3,3)=3$.
-Parità:
$\Delta(\sigma)=\Delta(\sigma_1)*\Delta(\sigma_2)=(1)*(1)=1$. Questo perché cicli di lunghezza dispari sono pari (parità uguale ad 1).
Intanto chiedo se quanto fatto è corretto e poi chiedo una mano per trovare il centralizzante di $\sigma$.
Grazie in anticipo a chi risponderà.
Risposte
Quello che puoi fare è contare i coniugati dell'elemento e ricordare che il numero dei coniugati è uguale all'indice del centralizzante.
In sostanza devo contare le permutazioni di $S_7$ che hanno la stessa struttura ciclica della mia permutazione, cioè del tipo $(a_1 a_2 a_3)(b_1 b_2 b_3)$?
Il numero di 3-cicli in $S_7$ è $(1/3)*(7!)/((4)!)=(1/3)*(7*6*5)=70$.
Quindi abbiamo $70*(70-1)=4830$ possibili combinazioni di prodotti di 3-cicli disgiunti.
Può andare?
Il numero di 3-cicli in $S_7$ è $(1/3)*(7!)/((4)!)=(1/3)*(7*6*5)=70$.
Quindi abbiamo $70*(70-1)=4830$ possibili combinazioni di prodotti di 3-cicli disgiunti.
Può andare?
Sì l'idea è giusta ma il conteggio è sbagliato. Scelto il primo 3-ciclo non puoi scegliere qualsiasi altro 3-ciclo, dev'essere disgiunto dal primo. Inoltre devi ricordarti che facendo così stai contando molti elementi due volte (cicli disgiunti commutano). Inoltre ricorda che [tex]7!=5040[/tex] quindi sarebbe strano avere qui $4830$ elementi di struttura (3,3), sarebbero davvero troppi (per esempio perché il numero che trovi dev'essere un divisore di [tex]7![/tex], essendo l'indice di un centralizzante).
Io farei così: prima devi selezionare sei elementi in ${1,2,3,4,5,6,7}$ e ovviamente ci sono 7 modi di fare questo. Ora hai 6 elementi e vuoi contare i $(3,3)$-cicli (notazione per "prodotti di due 3-cicli disgiunti") che puoi formare con questi 6 elementi. Diciamo che i 6 elementi sono $1,2,3,4,5,6$ (il conteggio non dipende dal nome degli elementi). Stai cercando cose tipo $(1xy)(abc)$, ora per $(1xy)$ ci sono ""binomiale 5 su 2" moltiplicato per 2" possibilità, cioè 20 (binomiale 5 su 2 per scegliere $x$ e $y$ nell'insieme ${2,3,4,5,6}$, e moltiplicato per 2 perché usando $x$ e $y$ puoi formare $(1xy)$ e $(1yx)$), e una volta scelto $(1xy)$ abbiamo tre elementi restanti con cui possiamo formare esattamente due 3-cicli (con $a,b,c$ possiamo formare i due 3-cicli $(abc)$ e $(acb)$). Quindi il numero che stai cercando è $7*20*2$ cioè $280$.
In conclusione l'ordine del centralizzante di $sigma$ è [tex]7!/280 = 18[/tex].
Io farei così: prima devi selezionare sei elementi in ${1,2,3,4,5,6,7}$ e ovviamente ci sono 7 modi di fare questo. Ora hai 6 elementi e vuoi contare i $(3,3)$-cicli (notazione per "prodotti di due 3-cicli disgiunti") che puoi formare con questi 6 elementi. Diciamo che i 6 elementi sono $1,2,3,4,5,6$ (il conteggio non dipende dal nome degli elementi). Stai cercando cose tipo $(1xy)(abc)$, ora per $(1xy)$ ci sono ""binomiale 5 su 2" moltiplicato per 2" possibilità, cioè 20 (binomiale 5 su 2 per scegliere $x$ e $y$ nell'insieme ${2,3,4,5,6}$, e moltiplicato per 2 perché usando $x$ e $y$ puoi formare $(1xy)$ e $(1yx)$), e una volta scelto $(1xy)$ abbiamo tre elementi restanti con cui possiamo formare esattamente due 3-cicli (con $a,b,c$ possiamo formare i due 3-cicli $(abc)$ e $(acb)$). Quindi il numero che stai cercando è $7*20*2$ cioè $280$.
In conclusione l'ordine del centralizzante di $sigma$ è [tex]7!/280 = 18[/tex].
Propongo anche io un modo per contare le permutazioni con una determinata struttura.
Consideriamo un $(3,3)-$ciclo, diciamo $(a, b, c)(d, e, f) \in S_7$, prima domanda: in quanti modi scelgo il primo $3$-ciclo? Intanto devo scegliere $3$ elementi da un insieme di $7$, quindi ho $( (7), (3))$ scelte, come posso disporre questi numeri? Beh in $3!$ modi, ma ossera che $(a, b, c) = (c, a, b) = (b, c, a)$, quindi devo dividere per $3$, cioè i tre numeri possono essere disposti in $\frac{3!}{3}$ diversi per formare cicli distinti, quindi per il primo $3-$ciclo ho ben $((7), (3))*\frac{3!}{3}$ scelte; passiamo al secondo $3-$ciclo: poiché è disgiunto dall'altro i numeri devo pescarli da un insieme di $7-3 = 4$ elementi, ragionando come sopra ho $( (4), (3) )\frac{3!}{3}$ scelte. Ho finito? Beh no! Perché i $3$ cicli, essendo disgiunti, commutano fra loro, quindi devo dividere tutto per $2!$(nota: se ne avessi avuti $k$ avrei dovuto dividere per $k!$), quindi in totale ho $((7), (3))*\frac{3!}{3}*( (4), (3) )\frac{3!}{3}*\frac{1}{2!} = \frac{7!}{18}$ $(3, 3)$-cicli.
Poiché in $S_n$ l'orbita di una permutazione è costituita da tutte le permutazioni con la stessa struttura allora ho che $|orb(\sigma)| = \frac{S_7}{|C_{S_7}(\sigma)|} = \frac{7!}{18}$, da cui $|C_{S_7}(\sigma)| = 18$.
Esercizio: dalla tecnica sopra esposta è possibile ricavare un formulone che ti permette di trovare la cardinalità dell'orbita di una qualsiasi permutazione sapendone solo la struttura in cicli disgiunti(contando anche i cicli di lunghezza $1$).
Detto in altri termini: quante sono le permutazioni in $S_n$ la cui decomposizione in cicli contiene $m_i$($m_i$ può essere anche nullo) cicli di lunghezza $i$?(per ogni $i \in {1, ..., n}$, quindi tengo conto anche dei cicli di lunghezza $1$)
Consideriamo un $(3,3)-$ciclo, diciamo $(a, b, c)(d, e, f) \in S_7$, prima domanda: in quanti modi scelgo il primo $3$-ciclo? Intanto devo scegliere $3$ elementi da un insieme di $7$, quindi ho $( (7), (3))$ scelte, come posso disporre questi numeri? Beh in $3!$ modi, ma ossera che $(a, b, c) = (c, a, b) = (b, c, a)$, quindi devo dividere per $3$, cioè i tre numeri possono essere disposti in $\frac{3!}{3}$ diversi per formare cicli distinti, quindi per il primo $3-$ciclo ho ben $((7), (3))*\frac{3!}{3}$ scelte; passiamo al secondo $3-$ciclo: poiché è disgiunto dall'altro i numeri devo pescarli da un insieme di $7-3 = 4$ elementi, ragionando come sopra ho $( (4), (3) )\frac{3!}{3}$ scelte. Ho finito? Beh no! Perché i $3$ cicli, essendo disgiunti, commutano fra loro, quindi devo dividere tutto per $2!$(nota: se ne avessi avuti $k$ avrei dovuto dividere per $k!$), quindi in totale ho $((7), (3))*\frac{3!}{3}*( (4), (3) )\frac{3!}{3}*\frac{1}{2!} = \frac{7!}{18}$ $(3, 3)$-cicli.
Poiché in $S_n$ l'orbita di una permutazione è costituita da tutte le permutazioni con la stessa struttura allora ho che $|orb(\sigma)| = \frac{S_7}{|C_{S_7}(\sigma)|} = \frac{7!}{18}$, da cui $|C_{S_7}(\sigma)| = 18$.
Esercizio: dalla tecnica sopra esposta è possibile ricavare un formulone che ti permette di trovare la cardinalità dell'orbita di una qualsiasi permutazione sapendone solo la struttura in cicli disgiunti(contando anche i cicli di lunghezza $1$).
Detto in altri termini: quante sono le permutazioni in $S_n$ la cui decomposizione in cicli contiene $m_i$($m_i$ può essere anche nullo) cicli di lunghezza $i$?(per ogni $i \in {1, ..., n}$, quindi tengo conto anche dei cicli di lunghezza $1$)
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