Semplificazione fattoriale per fare induzione.

[algibro]

Volendo dimostrare che per ogni naturale $n >= 37$, $(2n)! >= 2^n (n!)^2$ mi blocco già al passo base, nel senso che, per evitare ovviamente calcoli assurdi, non riesco a semplificare con i fattoriali.

Ad esempio...
$(2 \cdot 37)! >= 2^37 \cdot (37!)^2$;
$37! \cdot {74!}/{37!} >= 2^37 \cdot (37!)(37!)$...
come posso semplificare ?

[algibro]

Tra l'altro non comprendo il senso di provarlo per ogni naturale $n>=37$ in quanto la proposizione è vera per $n=0$ e, se suppongo vera l'ipotesi per cui $(2n)! >= 2^n (n!)^2$ e per $n+1$ provo la tesi per cui $(2(n+1))! >= 2^{n+1} ((n+1)!)^2$ ottengo:

$(2(n+1))! >= 2^{n+1} ((n+1)!)^2$
$(2n+2)! >= 2 \cdot 2^n (n!(n+1))^2$
$2n!(2n+1)(2n+2) >= 2 \cdot 2^n (n!)^2 (n+1)^2$
Per l'ipotesi induttiva ho che $(2n)! >= 2^n (n!)^2$ quindi mi rimane sufficiente verificare che
$(2n+1)(2n+2) >= 2(n+1)^2$
$4n^2+6n+2 >= 2n^2+4n+2$

e così la tesi è provata $\forall n \in \mathbb{N}$.

Non è corretto ?

[Studente Anonimo]

E' corretto.

Probabilmente il 37 è stato messo per confondere le acque. Chiaro che se vale per ogni $n ge 0$ allora vale per ogni $n ge 37$. Diciamo che nella "matematica del mondo reale" ( ) non c'è uno che ti dice cosa dimostrare, semplicemente congetturi una cosa, provi a dimostrarla, se ci riesci bene, se non ci riesci congetturi un'altra cosa, provi a dimostrarla, eccetera.

[algibro]

Grazie Martino, in effetti mi aveva confuso non poco all'inizio