Classificazione gruppi ordine 20

nick_10
Ciao a tutti! Sono alle prese con un esercizio che mi chiede di classificare a meno di isomorfismo i gruppi di ordine $20=2^2*5$
Ho indicato con $P_2$ e $P_5$ un 2-Sylow e un 5-Sylow di G. Segue facilmente che il 5-Sylow è sempre normale e che data la cardinalità $P_2 ~= ZZ_4$ o $P_2 ~= ZZ_2 xx ZZ_2$. Per studiare i possibili prodotti semidiretti $G=P_5 rtimes P_2$ studio gli omomorfismi $varphi: P_2 to Aut(P_5) ~= (ZZ_5)^ast$ quest'ultimo ciclico di ordine 4.
Se $P_2 ~= ZZ_4=$ e $P_5=$, considero $varphi$ che manda $x$ in $varphi(x) (y to xyx^-1)=x^a$
So che $x$ ha ordine 4 dunque $(varphi_x)^4=id$ da cui $x^(a^4)=x$. Ovvero $a^4=1 mod 5$.
Ottengo valori di a che però non so quando mi danno gruppi isomorfi o meno

Risposte
Shocker1
Esiste una condizione sufficiente per l'isomorfismo fra semidiretti(vedi queste dispense, pagina 35 proposizione 4.2.1). Se anche questo strumento fallisce non ti resta che studiare a fondo i vari gruppi per escludere/confermare gli isomorfismi, per esempio guardi i centri, vedi gli ordini degli elementi, costruisci un isomorfismo, trovi qualche relazione, etc. .

Stickelberger
E' l'ordine dell'elemento $a\in ZZ_5^{\times}$ che determina
la classe di isomorfismo del gruppo.

Infatti, dato un gruppo $G$ del tipo che consideri tu,
l'ordine di $a$ e' la cardinalita' dell'immagine di $\phi$.
Ed e' quindi determinato dal gruppo $G$.

Nell'altra direzione, se $a$ e $a'$ hanno lo stesso ordine
in $ZZ_5^{\times}$, allora i due gruppi correspondenti
sono isomorfi. Lo vedi se cambi il generatore $x$:

Esiste $u\in ZZ$ tale che $a'=a^u$ in $ZZ_5^{\times}$.
Se coniugio per $x$ induce la mappa $y\mapsto y^a$,
allora coniugio per $x^u$ induce la mappa $y\mapsto y^{a'}$

nick_10
Grazie mille a entrambi!!

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