Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
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Domande e risposte
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Buonasera,
ho un dubbio su un esercizio, sul quale bisogna provare se la corrispondenza è un'applicazione, come segue:
Sia \(\displaystyle G= (x,y) \in \mathbb{Z^2} : x^2=y^2 \), provare che \(\displaystyle \mathbb{Z^2},G \) non è un applicazione.
Procedo nel seguente modo, in primis do la definizione di applicazione inerente all'esercizio:
\(\displaystyle * \) Una corrispondenza \(\displaystyle f=(\mathbb{Z^2},G ) \) tra \(\displaystyle \mathbb{Z} \) e \(\displaystyle \mathbb{Z} \) si dice ...
Non riesco a interpretare il punto 2 di questo esercizio.
"1)Provare che la relazione in Z definita da aRb se e solo se a+b è pari è una relazione d'equivalenza. (Considerare 0 pari)
2) Trovarne l'insieme quoziente.
Il punto 1 non mi ha dato problemi. Il punto 2 mi sembra ambiguo.. dovrei trovare un insieme che contenga la classe di equivalenza del punto 1? In tal caso non saprei come procedere..
Salve, ho il seguente esercizio:
Trovare una presentazione per il gruppo $Z_20$* e $D_20$
Partiamo con il primo, ho scritto gli elementi del gruppo e l'ordine di ogni elemento e ho scoperto che non e' ciclico. A questo punto dovrei trovare i generatori ma non so come fare. Potete darmi un suggerimento??
Ciao a tutti,
sto seguendo un corso di algebra sulla Teoria di Galois e non riesco a venire a capo di una questione, come dispensa usiamo Fields and Galois Theory di J.S. Milne, liberamente consultabile qui: http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf
Ho dei problemi a pagina 15, nel paragrafo "Construction of some extension fields", l'obiettivo di quel paragrafo viene riassunto alla fine dello stesso e consiste nel mostrare che, dato F campo, per ogni polinomio monico irriducibile $f(X)$ di grado ...
Salve, per differenti ragioni mi sono ritrovato a dover seguire il corso di algebra 3 in condizioni differenti dal solito, con un uso maggiore del potere computazionale. Ed ecco che mi sono ritrovato dinanzi al seguente problema.
Sia $F_(729)=F(\alpha)$ con $\alpha$ radice di $f(x)=(X^6 + X + 2)$ (estensione ovviamente di $F_3$) tale che generi il gruppo moltiplicativo, ovvero $<\alpha> =F_(729)^x$
Il problema è trovare un elemento $\sigmainF_729$ tale che il suo polinomio minimo ...
Salve ragazzi,ho un dubbio che riguarda la transitività della seguente relazione:
Premettendo che ho verificato la riflessività e la simmetria,per la transitività ho seguito questo ragionamento:
\( (x,y)R(z,t)\Longleftrightarrow x+y = z+t \)
\( (z,t)R(a,b)\Longleftrightarrow z+t = a+b \)
Dimostriamo che:
\( (x,y)R(a,b) = x+y = a+b \)
Quindi:
\( x+y=z+t=a+b \rightarrow x+y=a+b \)
I miei dubbi a riguardo:
a e b devono anch'essi appartenere a \( R^2 \) ?
Mi è permesso ipotizzare che a e b ...
Salve,ho svolto questo esercizio e sono qui per chiedervi semplicemente una conferma.
Ho seguito questo ragionamento:
RIFLESSIVA:x è maggiore o uguale ad x,quindi OK.
SIMMETRICA: se x fosse 25 ed y fosse 4,avremmo che x è maggiore/uguale ad y ma non viceversa,quindi non è simmetrica.
TRANSITIVA: un eventuale valore J,se inferiore ad y che a sua volta è inferiore ad x,sarà anch'esso inferiore ad x.Cioè x>=y , y>=J dunque x>=J.
La relazione non è di equivalenza.
È corretto?
Salve,
Nel libro di Analisi 1 riguardo i connettivi logici c'è scritto:
P et Q potrebbe essere definito come non(non(P))vel(non(Q)).
Le parentesi sono scritte esattamente così.
Non riesco a capire se il primo non è riferito a tutta la disgiunzione oppure alla proposizione P. Infatti nel primo caso capisco che le due "espressioni" sono uguali, nel secondo caso no.
Grazie.
Buonasera,
sia $S$ un insieme e $A(S)$ l'insieme delle corrispondenze biunivoche di $S$ su se stesso che é un gruppo rispetto alla composizione di corrispondenze.
Se $x_0 in S$ sia $H(x_0) = {phi in A(S ) | x_0phi=x_0}$
Ebbene $H(x_0)$ é un sottogruppo
Io ho provato con $S_3$ è ho visto che questo sottogruppo é formato da 2 funzioni: la funzione identitá e un'altra funzione che manda l'elemento $x_0$ in se stesso. Si tratta di un ...
Non riesco a dimostrarmi che dato un prodotto di interi a due a due coprimi tra loro $M=m_0 \cdot m_1 \cdot ... \cdot m_n$, avendo che $m_j|M$ con $M=m_jq_j$ allora $M.C.D.(m_j,q_j)=1$.
Ho provato cercando di tenere a mente che laddove un intero $m$ divida $ab$ e $M.C.D.(m,a)=1$ allora necessariamente $m|b$, ho cercato di sbrogliarmi con le identità di Bézout, ma nulla da fare.
Consapevole che quando vedrò la dimostrazione darò testate nel muro, ringrazio ...
Curiosità domenicale: tutte le proposizioni sui numeri naturali possono essere dimostrare col principio di induzione?
ciao
Salve,non mi sono chiari alcuni concetti scritti durante le lezioni di matematica discreta. Si intenda per $ Z_n $ la partizione di $ Z$ rispetto alla relazione $ -= _n $ (congruenza modulo $n$). Perchè:
$ Z_2={[0]_-=2[1]_-= 2} $
$ Z_3={[0]_-=3[1]_-= 3[2]_-= 3} $
Qualcuno riuscirebbe a darmi una spiegazione (generale) chiara e semplice? Perchè $ Z_2 $ non contiene anch'essa la classe di equivalenza $ [2]_-= 2 $ ?
Grazie in anticipo.
Buonasera,
parlando di rappresentazioni di gruppi il mio professore ha fatto il seguente esempio.
$S_3=G$ agisce su $R^3$
prendo $σ(123)$ e quindi ho
$σ(e_1)=e_2$
$σ(e_2)=e_3$
$σ(e_3)=e_1$
quindi la rappresentazione e' $σ -> $(0 0 1
1 0 0
0 1 0 ) (dovrebbe essere una matrice)
Sapreste spiegarmi cosa fa in questo ...
Buongiorno,
ho il seguente esercizio:
"Sia $n ≥ 2$. Sia $H ⊂ Sn$ un sottogruppo transitivo (l’azione di H su {1, 2, . . . , n} ha un’unica orbita), dimostrare che H contiene un elemento senza punti fissi" come suggerimento mi e' stato detto di usare la formula di Burnside e allora ho ragionato in questo modo
La formula di Burnside mi dice che $|orb(H)|=1/|H| sum_(g∈H) (fix(g))$
Ho posto quindi $|H|=t$
inoltre so che essendo transitivo $|orb(H)|=1$
quindi che ...
Ho sempre pensato che la definizione di numero primo sia solo una definizione e non un vero e proprio teorema.
cioè
ciò che mi è sempre stato propinato è che
def
se $p>1$ Allora $p$ si dice primo se
ogni qualvolta che presi $a,b in ZZ$ si ha che
$p|ab=> p|a vv p|b$
ma leggo esplicitamente qui-->http://it.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Euclide
che questo non è nient'altro che il primo teorema di Euclide,
e che si può dedurre facilmente dal
lemma di Euclide
Se ...
Salve, sono qui in cerca di aiuto, ho iniziato da poco lo studio dei gruppi e sto cercando di risolvere alcuni esercizi trovati su internet.
Dovrei dimostrare se
$H$ é un sottogruppo di $Z^2$
$H={ ( x,y )|x+y=1 }$
Allora:
1)l'elemento neutro non ho dubbi: $(e_Z, e_Z)=(0,0)$
2)Associativitá: devo verificare che $(x,y)*(t,z)=1*(t,z) in H$
In base alla definizione:
$(x+y)+(t+z)=1+(t+z) rArr x+y+t+z=1+t+z !in H$
3)elemento inverso: $(x,y)'=(x', y' ) = (-x,-y) !in H$
Infatti
$(x,y)*(-x,-y)!=1$
Posso concludere che ...
Lemma: se $H$ é un sottoinsieme finito di un gruppo $G$ e $H$ é chiuso rispetto alla moltiplicazione, allora $H$ é un sottogruppo di $G$
Tralascio la dimostrazione(Se $ x in H$, allora $ x^2, x^3...in H$ per via della chiusura di $H$).... e provo a fare un esempio pratico :
Prendiamo il gruppo moltiplicativo $Z_5$ e consideriamo le potenze di $x=2$
Tra queste ci saranno per ...
Buonasera, devo dimostrare che due funzioni sono omomorfismi di gruppi. Le funzioni in questione sono:
$\phi: (D_n, \circ)-> (GL(2,RR),\cdot): g \mapsto \phi(g)=<br />
\{( ((cos((2\pi)/n),-sin((2\pi)/n)),(sin((2\pi)/n),cos((2\pi)/n))) \text{ se } g=R_((2\pi)/n)),(((1,0),(0,-1)) \text{ se } g=S):}$
Mia idea:
Devo far vedere che $\phi(R_((2\pi)/n)S)=\phi(R_((2\pi)/n))\phi(S)$
Ora è chiaro che
$\phi(R_((2\pi)/n))\phi(S)=((cos((2\pi)/n),-sin((2\pi)/n)),(sin((2\pi)/n),cos((2\pi)/n)))((1,0),(0,-1))=((cos((2\pi)/n),sin((2\pi)/n)),(sin((2\pi)/n),-cos((2\pi)/n)))$
ma non so come calcolare $\phi(R_((2\pi)/n)S)$, intuitivamente l'omomorfismo è chiaramente vero ma non so come scriverlo formalmente
$\rho: (S_n, \circ)-> (GL(n,RR),\cdot): g \mapsto \rho_2(\sigma)=(e_(\sigma(1))...e_(\sigma(n)))$
Mia idea:
Devo far vedere che $\rho(\sigma_1\sigma_2)=\rho(\sigma_1)\rho(\sigma2)$
Ora è chiaro che $\rho(\sigma_1\sigma_2)=(e_(\sigma_1(\sigma_2(1)))...e_(\sigma_1(\sigma_2(n))))$
mentre $\rho(\sigma_1)\rho(\sigma_2)=(e_(\sigma_1(1))...e_(\sigma_1(n)))(e_(\sigma_2(1))...e_(\sigma_2(n)))$
ma non so come far vedere in modo ...
Ciao Ragazzi
mi trovo in difficoltà con un esercizio, ovvero: calcolare il resto della divisione per 3 di \(\displaystyle 5^{427} \)
il mio ragionamento è stato questo (che poi l'ho preso dal libro):
la divisione di \(\displaystyle 5^{427} \) per 3 è come dire \(\displaystyle 5^{427} mod 7 \)
osservo che \(\displaystyle 5 \equiv 2 mod 3 \)
quindi posso dire che \(\displaystyle 5^{427} \equiv 2^{427} mod 3 \)
a questo punto dato che il MCD(2,3)=1 grazie ad un corollario del piccolo teorema ...
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