Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Dimostrare che ogni gruppo finito con più di due elementi ha un automorfismo non identico.
Provo a distinguere i seguenti casi:
Sia $G$ un gruppo non abeliano fissato un elemento $ginG$ e consideriamo l'applicazione $f_g =g^(-1)xg$ per ogni $x$ $ inG$, risulta essere un automorfismo, inoltre essendo $G$ non abeliano esisteranno due elementi $x_1,x_2inG$ tali che $x_1x_2!=x_2x_1$,
pertanto si avrà $f_(x_1)=x_1^(-1)x_2x_1 != x_2$, quindi ...
Non riesco proprio a farmi entrare in testa le permutazioni,si saranno facili ma tramite la sola teoria del mio libro(gli esercizi sono quasi nulli) non riesco a comprenderle come dovrei.
Allora ho le seguenti permutazioni:
$alpha=((1,2,3,4,5,6),(3,6,1,2,5,4))$
$beta=((1,2,3,4,5,6),(5,2,1,4,3,6))$
se dovessi esprimere le due permutazioni in cicli potrei esprimerle così:
$alpha=(13)(246)(5)$
$beta=(135)(2)(4)(6)$
è corretto?
se no come andavano espresse?
Ps. forse quelli che vengono mandati in sè stessi non dovrei nemmeno ...
Mi potete dare un link dove magari sono descritte chiaramente le principali nozioni da conoscere per i reticoli?
Quello che ho capito io e' che sono strutture algebriche costruite su una relazione d'ordine dove c'e' la particolare prooprieta' di ogni sottoinsieme...
Vorrei anche qualche delucidazione sui massimi e minimi e cosa praticamente significa una scrittura del tipo
$a ^^ b$ per massimo o $a vv b$ per minimo ...
ed infine il diagramma di hasse, ho capito che ogni ...
ciao ragazzi ho dei dubbi sulla dimostrazione riguardante il periodo di un elemento nel caso di un gruppo moltiplicativo...praticamente devo provare che $ g^n=1G hArr o(g)|n $ con g periodico 1G sarebbe l'unità del gruppo...allora il $ lArr $ l'ho provato in questo modo: se $o(g)|n$ allora$ n=o(g)*q $quindi$ g^(o(g))=1=(g^(o(g)))^q=g^n$
va bene così? come provo la $ rArr $ cioè ci ho provato ma mi riconduco alla stessa dimostrazione dell'altro caso...come posso farla??
Si consideri l’anello $ZZ$[i$sqrt(8)$] e siano I = e J = . Si mostri che I è un ideale massimale e che J non lo è.
So che in $ZZ$ sono riducibili perchè
5=(2-i)(2+i)
2=(1-i)(1+i)
quindi I e J non sono massimali.
per verificarlo in $ZZ$[i$sqrt(8)$] ?
grazie mille!
Salve.
Sto preparando l'esame di Complementi di Algebra, corso di Matematica per l'insegnamento.
Premetto che le mie conoscenze di algebra si fermano a inizio 2006, ancora l'italia non era campione del mondo...
Comunque, il problema è il seguente:
viene data la definizione di sottogruppo caratteristico come quel sottogruppo H di G che viene mutato in sè da ogni automorfismo alpha.
L'osservazione successiva che trovo nei miei appunti è che tutti i derivati sono caratteristici.
Ora, io come ...
Determinare una permutazione $s in S_7$ che genera un sottogruppo ciclico di ordine 20 e calcolare $s^4$.
Mi date qualche dritta su come si svolge questo esercizio?il mio libro riguardo ciò è piuttosto frammentato quindi non so proprio come affrontarlo
Chi mi può dare una mano a risolvere questo esercizio?
Siano p un numero primo, 1 $ leqn in NN $ e F=GF(p^n) un campo di ordine p^n. Sia 1 $ leqk in NN $; si dimostri che F contiene una radice k-esima dell'unità il cui ordine (moltiplicativo) è k se e solo se k divide (p^n)-1
per ora so soltanto che F essendo un campo di ordine p^n è un campo di spezzamento di x^(p^n)-x ma poi non ho proprio idea di come proseguire.
Volevo sapere se essendo w la radice k-esima dell'unità,il fatto ...
Come faccio se devo calcolare la cardinalità dell'anello quoziente $ ZZ {::}_( 3) $ / $ (X^(3) + X + 1) $ ?
Devo dimostrare che è isomorfo a un anello di cardinalità nota a d esempio ?
Il mio libro riguardo un esempio sul campo di Galois porta questo esempio che non ho ben capito:
Considerato il campo di Galois $GF(8)$ cioè $GF(2^3)$
per moltiplicare due terne,o i rispettivi polinomi,si consideri il polinomio di grado 3 $v(t)=1+t+t^3$.Esso è irriducibile su $Z_2$,poichè altrimenti avrebbe un divisore di grado uno,e quindi almeno una radice in $Z_2$.Ma ciò non si verifica in quanto $v(0)=v(1)=1$ (già questo non ho ben capito ...
Buongiorno a tutti, avrei bisogno di aiuto su un esercizio.
Mi si chiede di determinare tutti gli omomorfismi tra i gruppi $ D4 $ e $ ZZ 8 $.
L'unico ragionamento che sono riuscito a fare è che, poiché l'immagine dell'omomorfismo è sottogruppo di $ ZZ 8 $, la sua cardinalità deve dividere quella del gruppo, cioè 8, giusto? Pertanto l'immagine può avere 1, 2, 4 o 8 elementi. Ora però non ho idea di come continuare, mi dareste una mano?
Salve a tutti
Ho il seguente sottoanello $Z_(6) ={a/(6^t) | a in Z, t in N}$
Devo dire quali tra i seguenti ideali: $4Z_(6), 5Z_(6), 10Z_(6), 12Z_(6), 14Z_(6), 20Z_(6), 21Z_(6), 30Z_(6), 42Z_(6), 49Z_(6)$ è un ideale proprio, coincidente con un altro, massimale.
Dalle definizioni a me risulta che $4Z_(6), 12Z_(6)$ sono coincidenti tra loro, $5Z_(6),10Z_(6),20Z_(6),30Z_(6)$ sono coincidenti tra loro e $14Z_(6), 21Z_(6), 42Z_(6), 49Z_(6)$ lo sono tra di loro.
$5Z_(6)$ è un ideale proprio e massimale, ma degli altri non riesco a saperlo con certezza.
Suggerimenti e o consigli?
Non riesco a risolvere questo problema:
mostrare che se G è un gruppo finito non identico in cui vale l'inverso del teorema di Lagrange, allora G ha un quoziente abeliano non identico.
Potete aiutarmi??
come si fa a determinare se un sottogruppo è normale?cioè, il teorema dice $a^-1*h*a in H$, $a in G$(gruppo), $h in H$(sottogruppo). Quindi supponiamo che io ho una permutazione $s in s_8$, e un sottgruppo generato da tale permutazione, ad esempio $H={s^2,s^3,s^4}$.
Per vedere se H è normale devo verificare che $s^-1*s^2*s in H$? Quindi che tale quantità sia uguale ad $s^2,s^3$ o $s^4$?
Oppure $s^-1*s^2*s = s^2$(e così via anche per ...
Siano x1, x2,......., xn $ in $ $ CC $ tali che $ (X)^(7) $ + X + 2 =( X - x1)(X - x2)..... (X - x7).
a) Determinare x1 + x2 + .......+ x7.
b) Dimostrare che $ (x1)^(3) + (x2)^(3) $ + ........+ $ (x7)^(3) $ = 0
Grazie ragazzi non so da dove partire
ciao a tutti...ho un problema con i campi di galois. Quando faccio la moltiplicazione, poi devo ridurre per il polinomio dato..Come si effettua la riduzione per il polinomio?ho problemi sopratutto quando i coefficienti sono maggiori di uno!!
Esempio: dato il polinomio $f(t)=t^2+t+2$ di $Z_3[t]$, costruire il campo di galois GF(9). Mi calcolo $(0,0),(1,0)$ ecc.. Quando vado ad elevare al quadrato $(2,2)$, per esempio, dovrebbe uscire $(1,2)$, invece a me ...
Cari amici.
Ho un problema che non riesco a risolvere; ho un gruppo $G$ di ordine $64$ e so che il suo centro $Z(G)$ ha ordine $32$, sia dato adesso un sottogruppo $H$ di ordine $16$ devo dimostrare che in $H$ esiste un sottogruppo abeliano di ordine $8$.
L'esistenza del sottogruppo di ordine $8$ è garantita da Sylov, infatti il gruppo $G$ ha ordine ...
siano $\sigma=((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13),(7,11,9,6,13,4,2,12,10,1,5,8,3)) ; \tau=((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13),(7,10,9,8,3,12,11,6,1,13,5,4,2))$
Sia inoltre $H1=<\sigma>$ , $H2=<\tau>$ e $G= H1 nn H2 $ determinare in G un elemento di periodo 6.
sono arrivato alla soluzione che dovrebbe essere $\alpha=<1,11,3><7,5,9><2,13,10><4,6><8,12>$ rispettivamente uguale a $\sigma^3=\tau^2$ però ci sono arrivato dopo molto tempo e vari tentativi, cioè avevo identificato dei termini appartenenti a G ma non con queste caratteristiche....poi ho scoperto questa ma solo dopo tenti e tanti tentativi...c'è un metodo più semplice per ...
Quanti automorfismi possiede un Gruppo diedrico $D_(2n)$?
Procedo con il seguente ragionamento, il Gruppo $D_(2n)$ consta di un Gruppo ciclico di ordine $n$ ed $n$ elementi di ordine $2$;
Sia $H=<a>$ il sottogruppo di ordine $n$ generato dall'elemento $<a>$ , ed $t_1$ uno degli elementi di ordine $2$,
si avrà pertanto $D_2n=<a>uu (t_1, t_1a, t_1a^2,t_1a^3,....t_1a^(n-1))$.
Dovendo ricercare degli automorfismi, ...
ciao ragazzi questa è la prima volta che scrivo su questo forum...ho un problema sulle permutazioni...penso di averlo risolto ma non ne sono sicuro al 100%
sia $\alpha=(( 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10 , 11, 12 , 13 , 14 ,15, 16)( 10 ,7 ,5 ,12 ,15, 13 , 1 ,11 ,6 ,2 , 3 , 9 ,14 ,16 , 8 ,4))$ $ alpha in S 16 $ (quindi i numeri vanno da uno a 16..scusate se non si capisce niente).... sia G= e H = $ {sigma in G|sigma({1,2}={1,2} } $ provare che H è un gruppo ciclico e determinarne l'ordine e un generatore.
SVOLGIMENTO
decompongo $\alpha$ in cicli disgiunti quindi ho: $\alpha=<1,10,2,7><3,5,15,8,11><4,12,9,6,13,14,16>$
da ...
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