Esercizio sulle permutazioni
ciao ragazzi questa è la prima volta che scrivo su questo forum...ho un problema sulle permutazioni...penso di averlo risolto ma non ne sono sicuro al 100%
sia $\alpha=(( 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10 , 11, 12 , 13 , 14 ,15, 16)( 10 ,7 ,5 ,12 ,15, 13 , 1 ,11 ,6 ,2 , 3 , 9 ,14 ,16 , 8 ,4))$ $ alpha in S 16 $ (quindi i numeri vanno da uno a 16..scusate se non si capisce niente).... sia G=<$\alpha$> e H = $ {sigma in G|sigma({1,2}={1,2} } $ provare che H è un gruppo ciclico e determinarne l'ordine e un generatore.
SVOLGIMENTO
decompongo $\alpha$ in cicli disgiunti quindi ho: $\alpha=<1,10,2,7><3,5,15,8,11><4,12,9,6,13,14,16>$
da questo capisco che il periodo di $\alpha=140$ che corrisponde al mcm delle lunghezze dei cicli.
$G={\alpha,\alpha^2,...,\alpha^140}$
so che $ sigma in G $ quindi $\sigma=\alpha^k$ tale che $\alpha^k({1,2})={1,2}$. tale k è 2 e ogni suo multiplo quindi possiamo concludere che $H=<\alpha^2>$ gia da questo capisco che H è ciclico e che un generatore è $\alpha^2$ o sbaglio? comunque il periodo poi è 70 se non ho sbagliato qualcosa...
Tra l'altro qualcuno mi dice come fare a scrivere bene le permutazioni con le formule?? non ci sono riuscito scusate...
sia $\alpha=(( 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10 , 11, 12 , 13 , 14 ,15, 16)( 10 ,7 ,5 ,12 ,15, 13 , 1 ,11 ,6 ,2 , 3 , 9 ,14 ,16 , 8 ,4))$ $ alpha in S 16 $ (quindi i numeri vanno da uno a 16..scusate se non si capisce niente).... sia G=<$\alpha$> e H = $ {sigma in G|sigma({1,2}={1,2} } $ provare che H è un gruppo ciclico e determinarne l'ordine e un generatore.
SVOLGIMENTO
decompongo $\alpha$ in cicli disgiunti quindi ho: $\alpha=<1,10,2,7><3,5,15,8,11><4,12,9,6,13,14,16>$
da questo capisco che il periodo di $\alpha=140$ che corrisponde al mcm delle lunghezze dei cicli.
$G={\alpha,\alpha^2,...,\alpha^140}$
so che $ sigma in G $ quindi $\sigma=\alpha^k$ tale che $\alpha^k({1,2})={1,2}$. tale k è 2 e ogni suo multiplo quindi possiamo concludere che $H=<\alpha^2>$ gia da questo capisco che H è ciclico e che un generatore è $\alpha^2$ o sbaglio? comunque il periodo poi è 70 se non ho sbagliato qualcosa...
Tra l'altro qualcuno mi dice come fare a scrivere bene le permutazioni con le formule?? non ci sono riuscito scusate...
Risposte
"erdos1123":
ciao ragazzi questa è la prima volta che scrivo su questo forum...ho un problema sulle permutazioni...penso di averlo risolto ma non ne sono sicuro al 100%
sia $\alpha=(( 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10 , 11, 12 , 13 , 14 ,15, 16),( 10 ,7 ,5 ,12 ,15, 13 , 1 ,11 ,6 ,2 , 3 , 9 ,14 ,16 , 8 ,4))$ $ alpha in S 16 $ (quindi i numeri vanno da uno a 16..scusate se non si capisce niente).... sia G=<$\alpha$> e H = $ {sigma in G|sigma({1,2})={1,2} } $ provare che H è un gruppo ciclico e determinarne l'ordine e un generatore.
SVOLGIMENTO
decompongo $\alpha$ in cicli disgiunti quindi ho: $\alpha=<1,10,2,7><3,5,15,8,11><4,12,9,6,13,14,16>$
da questo capisco che il periodo di $\alpha=140$ che corrisponde al mcm delle lunghezze dei cicli.
$G={\alpha,\alpha^2,...,\alpha^140}$
so che $ sigma in G $ quindi $\sigma=\alpha^k$ tale che $\alpha^k({1,2})={1,2}$. tale k è 2 e ogni suo multiplo quindi possiamo concludere che $H=<\alpha^2>$ gia da questo capisco che H è ciclico e che un generatore è $\alpha^2$ o sbaglio? comunque il periodo poi è 70 se non ho sbagliato qualcosa...
Tra l'altro qualcuno mi dice come fare a scrivere bene le permutazioni con le formule?? non ci sono riuscito scusate...
benvenuto nel forum.
mancava una virgola tra le due parentesi.
ok va bene...ma come problema va bene??? cioè è giusto?
la prima parte è ok.
sulla seconda non mi pronuncio perché non l'ho capita.
sulla seconda non mi pronuncio perché non l'ho capita.
praticamente bisogna trovare $\sigma in G t. c. \sigma(1,2)=(1,2)$ e determinare se il gruppo $H$ formato da questi $\sigma$ è ciclico e inoltre un suo generatore e il suo periodo
sono d'accordo che $alpha^2({1,2})={1,2}$, com'era nel testo con le parentesi graffe.
magari quello che hai scritto è tutto corretto, solo che io non vedo più queste cose da tanto tempo, forum a parte.
quello che mi lascia perplessa è la frase del post precedente "gia da questo capisco che H è ciclico e che ... "
perché? io mi sono chiesta: o è banale che H è ciclico, oppure non può dipendere solo dagli elementi 1,2 o solo da $(1,10,2,7)$, dato che gli altri due cicli disgiunti hanno 5 e 7 elementi ...
magari quello che hai scritto è tutto corretto, solo che io non vedo più queste cose da tanto tempo, forum a parte.
quello che mi lascia perplessa è la frase del post precedente "gia da questo capisco che H è ciclico e che ... "
perché? io mi sono chiesta: o è banale che H è ciclico, oppure non può dipendere solo dagli elementi 1,2 o solo da $(1,10,2,7)$, dato che gli altri due cicli disgiunti hanno 5 e 7 elementi ...
io intendevo che avendo già trovato che $\alpha^2$ è quel $\sigma$ cercato e dato che il ciclo di $\alpha$ contenente 1 e 2 ha lunghezza 4 posso già dire con certezza che $H=<\alpha^2>$ e quindi che H è ciclico
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