Ideali massimali (esercizio)

[skeggia871]

Si consideri l’anello $ZZ$[i$sqrt(8)$] e siano I = <5> e J = <2>. Si mostri che I è un ideale massimale e che J non lo è.


So che in $ZZ$ sono riducibili perchè
5=(2-i)(2+i)
2=(1-i)(1+i)

quindi I e J non sono massimali.

per verificarlo in $ZZ$[i$sqrt(8)$] ?

grazie mille!

[Studente Anonimo]

Ciao, benvenuto nel forum.

Prova a dimostrare che

[tex]A=\mathbb{Z}[i\sqrt{8}]/(5) \cong \mathbb{Z}[X]/(5,x^2+8) \cong \mathbb{Z}_5[X]/(x^2+8)[/tex].

Sai che l'ideale generato da [tex]5[/tex] in [tex]\mathbb{Z}[i \sqrt{8}][/tex] e' massimale se e solo se [tex]A[/tex] e' un campo.

[skeggia871]

grazie!
ho verificato che non ho radici dunque il polinomio è irriducible, per cui I è massimale

idem per J

[Studente Anonimo]

Per [tex]J[/tex] avrai ottenuto [tex]x^2[/tex], che è riducibile.

[skeggia871]

esattamente...

Poi non mi torna perchè I=($x^3 + x + 1$) in $ZZ_4$[x] non è massimale.
perchè per me non ha radici quindi è irriducibile e quindi massimale.

[Studente Anonimo]

"skeggia87":Poi non mi torna perchè I=($x^3 + x + 1$) in $ZZ_4$[x] non è massimale.
perchè per me non ha radici quindi è irriducibile e quindi massimale.

Non è massimale perché il quoziente ha divisori di zero (quindi non è un campo), per esempio [tex]2 \cdot 2 = 0[/tex].

[skeggia871]

ok....grazie per l'aiuto!