Esercizio algebra 2

[ankia_89]

Chi mi può dare una mano a risolvere questo esercizio?

Siano p un numero primo, 1 $ leqn in NN $ e F=GF(p^n) un campo di ordine p^n. Sia 1 $ leqk in NN $; si dimostri che F contiene una radice k-esima dell'unità il cui ordine (moltiplicativo) è k se e solo se k divide (p^n)-1

per ora so soltanto che F essendo un campo di ordine p^n è un campo di spezzamento di x^(p^n)-x ma poi non ho proprio idea di come proseguire.
Volevo sapere se essendo w la radice k-esima dell'unità,il fatto che $ w in F $ implica che è un sottogruppo del gruppo moltiplicativo di F?
Cercando ho trovato che il gruppo moltiplicativo di un campo di ordine p^n ha ordine p^n-1 e mi è venuto il dubbio!

[drughe]

se non mi sbaglio c è un isomorfismo fra le radici $p^n-1$-esime dell unità e $U(F)=F-{0}$ con $F=GF(p^n)$, quindi hai il caso in cui $k=p^n-1$.

l'isomorfismo viene dal fatto che per ogni $a$ elemento di $U(F)$ risulta $a^{p^n-1}=1_F$ (cioè ogni elemento è una radice $p^n-1$-esima dell'unita), e quindi poi sai anche che le radici primitive $p^n-1$-esime ti generano U(F).

e quindi U(F) è un gruppo ciclico generato da una radice primitiva e quindi per ogni divisore k dell'ordine di U(F) esiste un sottogruppo di tale ordine e che quindi viene generato da un elemento (una radice dell unità) con tale ordine.