Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Ciao a tutti,
sto cercando di risolvere un esercizio relativo all'induzione matematica ma proprio non riesco Questo è il testo dell'esercizio
Verificare che la somma dei primi n numeri naturali che sono prodotti di 2 numeri pari consecutivi è uguale a $ 8 ( ( n+2 ), ( 3 ) ) $.
Vi dico come ho pensato così almeno vediamo dov'è l'errore...
La somma dei primi n numeri naturali che sono prodotti di 2 numeri pari consecutivi sarebbe $2*4 + 4 * 6 + .... + 2n(2n+2)$ che il testo dice essere uguale a ...
Sono alle prese con i numeri algebrici e trascendenti...
Determinare quali dei seguenti numeri sono algebrici e quali trascendenti:
1) $1/root(3)(root(2)(2)+1)$
posto $alpha=1/root(3)(root(2)(2)+1)$ avremo $alpha^3=1/(root(2)(2)+1)$ poi $1-alpha^3=alpha^3*root(2)(2)$ ed infine sviluppando i calcoli si ottiene che $alpha$ è soluzione del polinomio $x^6+2*x^3-1$ quindi è algebrico. CORRETTO?
2) $root(2)(pi)$
posto $alpha=root(2)(pi)$ avremo $alpha^2=pi$ quindi il polinomio che si ottiene è $x^2-pi$ e ...
Ciao a tutti. Ho un problema con il seguente esercizio.
Sia G un gruppo finito e $\phi : G rarr H$ un epimorfismo. Si provi che se P è un p-sottogruppo di Sylow in G, allora $\phi(P)$ è un p-sottogruppo di Sylow in H.
Il mio tentativo di soluzione, o per lo meno di inizio di soluzione è stato il seguente.
|G| = n. Poichè $phi$ è un'applicazione |H|=m, con m$<=$n.
Sia P un p-sottogruppo di Sylow di G. Quindi |P|=$p\^a$ tale che ...
Mi stavo chiedendo quale relazione ci potesse essere tra [tex]\mathbb{R} ^2[/tex] e [tex]\mathbb{C}[/tex] .
Più in particolare, intesi questi come strutture algebriche, se fosse possibile metterli a isomorfismo.
[tex]\mathbb{R} ^2 \simeq \mathbb{C}[/tex]
Subito mi sono reso conto che R2 non è campo, in quanto non è neppure dominio (basti pensare a [tex](1,0)*(0,1)=(0,0)[/tex] .
Tra questi però vi potrebbe comunque essere un morfismo di anelli??
subito mi è venuto da buttare giù ...
Buonasera a tutti!
Mentre svolgevo degli esercizi sugli anelli mi sono imbattuto negli interi di Gauss e mi sono accorto che non riesco a fattorizzare un tale intero!
In particolare mi chiede di fattorizzare $a = 14 - 2i, b = 4 -22i$ ma non so cosa devo fare!!
Ho letto in giro che c'entra la norma, ma come la devo utilizzare?
E poi successivamente mi chiede di trovare l'MCD(a,b) e l'mcm(a,b) e questo penso che una volta fattorizzato non dovrà essere difficile..
E poi un ultimo dubbio su un ...
Buonasera a tutti!
Ho un dubbio sul seguente esercizio:
Considero un gruppo abeliano $G$ ed un suo elemento $a$. Sia $G(a)$ il gruppo ciclico generato da $a$ e $G_1(a)={x inG|x^ninG(a) text{ per qualche } n>0}$. Si prova che $G_1(a)$ è un sottogruppo di $G$ contenente $G(a)$. Nel caso in cui $G=(RR,+)$ bisogna provare che se $a!=0$, $G_1(a)~=(QQ,+)$.
Nella risoluzione si dice che:
1) In questo caso $G_1(a)={x inRR|nx=ma text{ per qualche } n>0 text{ ed } ninZZ}$. ...
Ciao a tutti, premetto che sono un profano di questa materia, ne leggo solo qualcosa ogni tanto, quando ho voglia di farmi venire mal di testa. Poco tempo fa mi sono imbattuto in questi due termini, autologico ed eterologico, che come immagino molti di voi sapranno, si riferiscono ad aggettivi che indicano proprietà che possono essere riferite a loro stessi (gli autologici) oppure no(gli eterologici). Ora il mio problema è questo: per quanto riguarda l' aggettivo "eterologico" diciamo che ho ...
Buonasera a tutti!.
Devo risolvere l'esercizio:
- Si trovino tutti i possibili omomorfismi dal gruppo $(ZZ_n,+)$ nel gruppo $(ZZ_m,+)$ -
Se $phi$ è un omomorfismo za $ZZ_n$ a $ZZ_m$ e denotiamo $phi(bar1)=bar(rho)$ con $bar(rho)inZZ_m$, dall'ipotesi che $phi$ è un omomorfismo e da $n*bar1=bar0$ segue che: $nbar(rho)=n*phi(bar1)=phi(n*bar1)=phi(bar0)=bar0$. Il testo afferma che da ciò si deduce che l'ordine di $bar(rho)$ è un divisore di ...
Ciao a tutti. Mi chiamo Bersan e sono un appassionato di logica, matematica e in particolare di numeri. Ho sviluppato una particolare funzione che prendendo come argomento un numero intero positivo n determina se 2*n+1 è primo. Siccome i miei amici etichettano benevolmente come "bersanate" le mie riflessioni ho deciso di chiamare la funzione Bersana. Chiedo scusa in anticipo per la formattazione del messaggio ma essendo non vedente è un compito difficile per me. ...
Buonasera!
Sono alle prese con l'esericizio:
"Descrivere ed analizzare il gruppo quoziente di:
- $(ZZ_12,+)$ rispetto al sottogruppo $H={bar0,bar4,bar8}$;
- $(RR,+)$ rispetto al sottogruppo $ZZ$;
- $(RRtext{*},*)$ rispetto ai suoi due sottogruppi ${1,-1}$ e $(RR^+,*)$"
Vi propongo le linee-guida della traccia risolutiva in mio possesso relativamente ai primi due quesiti (che sono quelli dove ho più dubbi):
- Si trova che ...
Oggi, a lezione, ci è stata data la definizione di polinomio inseparabile (un polinomio [tex]f(x) \in F[x][/tex] si dice inseparabile se almeno uno dei suoi fattori irriducibili ammette radici multiple nel campo di spezzamento), accompagnata da un esempio di polinomio irriducibile inseparabile. Si considerano il campo delle frazioni di [tex]\mathbb{Z}_3[t],\ F:=\mathbb{Z}_3(t)[/tex] (chiaramente, per esporre l'esempio suddetto, occorre un campo infinito di caratteristica non zero) ed il ...
Determinare il polinomio minimo di [tex]u=\sqrt{2} +\sqrt{5}[/tex] su [tex]\mathbb{Q} ,\mathbb{Q}(\sqrt{2}) ,\mathbb{Q}(\sqrt{10}) ,\mathbb{Q}(\sqrt{7})[/tex] .
Per i primi tre non c è problema, grazie alle inclusioni si trova la formula dei gradi corrispondente, l' ultimo però non riesco proprio a capire come poterlo includere..
per gli altri ho detto:
[tex]\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset \mathbb{Q}(u)[/tex]
[tex]\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{10}) \subset ...
In [tex]\mathbb{R} \over {(X^3+X^2+2X+2)}[/tex]
trovare due elementi a e b tali che a*b=0 e a+b=2.
Ho innanzitutto scomposto il polinomio che genera l' ideale:
[tex](X^3+X^2+2X+2)=(x^2+2)*(x+1)[/tex]
Poi ho provato a fare l' identità di Bezout con quei due polinomi:
[tex](x^2+2)+(x-1)(x+1) = 1[/tex]
Da qui ho provato di moltiplicare tutto per due:
[tex]2(x^2+2)+2(x-1)(x+1) = 2[/tex]
I due elementi a e b sono dunque:
[tex]a=2(x^2+2) + I[/tex] , dove ...
Trovare un anello R, un sottoanello S di R e un ideale massimale M di R tali che [tex]S \cap M[/tex] non è ideale massimale di S.
Inizialmente ho pensato a dover prendere un anello finito, del tipo Z/nZ, ma poi distinguere ideali e sottoanelli faccio fatica..
non so proprio come pensare a un impostazione...
Per essere sicuro di aver "amalgamato" i vari concetti vorrei che mi deste un occhiata al seguente mio ragionamento e mi dite se torna..
1° Parte
Sia [tex]f \in \mathbb{R} [X][/tex] , [tex]f= X^4+1[/tex] .
Come ben sappiamo, f non ha radici in [tex]\mathbb{R}[/tex] .
Prima di tutto voglio sapere se è irriducibile.
Se non lo fosse, potrei scrivere f come prodotto di 2 polinomi: [tex]f=g*h[/tex]
Dato che siamo in un dominio, [tex]deg(f)=deg(g)+deg(h)[/tex].
I casi possibili ...
Ciao a tutti,
volevo informarvi del fatto che sto scrivendo un pdf con note di algebra, e per ora sono arrivato ad un decente primo capitolo riguardante i gruppi. Pensavo di parlare nei successivi capitoli di teoria di Galois, categorie e algebra applicata alla topologia, un po' di teoria degli schemi.
Potete trovare il pdf qui.
Vi sarei grato se poteste dare un'occhiata a queste note, se volete, e dirmi che ne pensate. Naturalmente ci saranno errori, sto modificando il ...
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Studente Anonimo
9 dic 2009, 23:49
Formalmente la successione di Fibonacci può essere definita come ${ an|n>=0} <br />
<br />
dove $a0=0$, $a1=1$, e $an=a^(n-1)+a^(n-2)$ per ciascun $n>=2$
cosa si intende!...ho qualche dubbio.
Dovrei scrivere l' equazione di Bezout di 2 polinomi:
[tex](x^2+2)[/tex] e [tex](x+1)[/tex] .
Ho proceduto quindi con le divisioni successive (due) ma mi risulta che l' ultimo resto diverso da 0 è 3.
Ha senso affermare che l' MCD di due polinomi sia 3? non so ma mi sembra che qualcosa non quadra.. o forse nel caso delle divisioni successive tra polinomi devo fermarmi non quando il resto è zero ma quando ha grado zero??
Buonasera a tutti!
Eccomi qui di nuovo con dei dubbi su alcuni esercizi, questa volta sugli anelli!
Allora espongo qui il quesito:
Sia $Q[X]$ l'anello dei polinomi nel campo dei numeri razionali:
Assegnato $ A = {f(x) \in Q[X] | f(1) \in Z} $:
1) Verificare che A è sottoanello di $Q[X]$;
2) Fissato un numero $n \in N$ si consideri $I_n = {f(x) \in A | f(1) = 0$ in $Z_n}$: verificare che $I_n$ è un ideale di A. $I_n$ è un ideale anche di ...
Sia
[tex]L={{\mathbb{Z} 2[X]} \over (X^{3}+2X+1)}[/tex]
La cardinalità di L è chiaramente 8 = [tex]2^{3}[/tex] .
Ciò che mi viene difficile è capire QUALI siano questi elementi..
ero abituato nell' ambito degli insiemi/gruppi quozienti di considerare un elemento uguale ad un altro quando in a+I I "assorbiva" a.
Insomma in poche parole:
[tex]2+2\mathbb{Z} =4+2\mathbb{Z}[/tex]
Ma qui non capisco proprio..
alcune cose che mi vengono in mente sono:
[i vari polinomi di Z2] + ...
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