Problema dell'herstein.
Dimostrare che ogni gruppo finito con più di due elementi ha un automorfismo non identico.
Provo a distinguere i seguenti casi:
Sia $G$ un gruppo non abeliano fissato un elemento $ginG$ e consideriamo l'applicazione $f_g =g^(-1)xg$ per ogni $x$ $ inG$, risulta essere un automorfismo, inoltre essendo $G$ non abeliano esisteranno due elementi $x_1,x_2inG$ tali che $x_1x_2!=x_2x_1$,
pertanto si avrà $f_(x_1)=x_1^(-1)x_2x_1 != x_2$, quindi $f(x_1)!=I$,cioè per un gruppo non abeliano esistono sempre automorfismi
non banali.
Andiamo adesso al caso di un gruppo $G$ abeliano dove esiste qualche elemento $x_0inG$ tale che sia $x_0!=x_0^(-1)$, consideriamo l'applicazine $f_x=x^(-1)$ per ogni $x$ $inG$ essa risulta essere un automorfismo non banale, cioè $f_x!=I$.
Consideriamo adesso l'ultimo caso, in cui ogni elemento $x$ $inG$ abbia come inverso se stesso cioè $x=x^(-1)$, in definitiva quel gruppo che ha ordine $2^n$ con $ninN$,chiaramente abeliano, tale gruppo possiede certamente un sottogruppo del tipo $Z_2xxZ_2$, ed essendo che tale sottoruppo possiede per la sua particolare simmetria $3!$$=6$ automorfismi distinti, la tesi é dimostrata.Infatti basta semplicemente considerare l'automorfismo che porta tale sottogruppo in una sua copia automorfa diversa dall'identica e lasciare fissato ogni altro elemento di $G$, per ottenere un automorfismo di $G$ non identico.
Spero di non aver scritto delle considerazioni errate, resto in attesa di un parere, grazie!!
Provo a distinguere i seguenti casi:
Sia $G$ un gruppo non abeliano fissato un elemento $ginG$ e consideriamo l'applicazione $f_g =g^(-1)xg$ per ogni $x$ $ inG$, risulta essere un automorfismo, inoltre essendo $G$ non abeliano esisteranno due elementi $x_1,x_2inG$ tali che $x_1x_2!=x_2x_1$,
pertanto si avrà $f_(x_1)=x_1^(-1)x_2x_1 != x_2$, quindi $f(x_1)!=I$,cioè per un gruppo non abeliano esistono sempre automorfismi
non banali.
Andiamo adesso al caso di un gruppo $G$ abeliano dove esiste qualche elemento $x_0inG$ tale che sia $x_0!=x_0^(-1)$, consideriamo l'applicazine $f_x=x^(-1)$ per ogni $x$ $inG$ essa risulta essere un automorfismo non banale, cioè $f_x!=I$.
Consideriamo adesso l'ultimo caso, in cui ogni elemento $x$ $inG$ abbia come inverso se stesso cioè $x=x^(-1)$, in definitiva quel gruppo che ha ordine $2^n$ con $ninN$,chiaramente abeliano, tale gruppo possiede certamente un sottogruppo del tipo $Z_2xxZ_2$, ed essendo che tale sottoruppo possiede per la sua particolare simmetria $3!$$=6$ automorfismi distinti, la tesi é dimostrata.Infatti basta semplicemente considerare l'automorfismo che porta tale sottogruppo in una sua copia automorfa diversa dall'identica e lasciare fissato ogni altro elemento di $G$, per ottenere un automorfismo di $G$ non identico.
Spero di non aver scritto delle considerazioni errate, resto in attesa di un parere, grazie!!
Risposte
Resto in attesa di un parere,Grazie!
i primi due casi sono ovviamente banali. interessante è il terzo, che secondo me non va bene.
considera:
[tex]$G=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$[/tex]
diciamo che [tex]$G = \left\{e,a,b,c,ab,ac,bc,abc \right\}$[/tex]
dove [tex]$a,b,c$[/tex] sono i generatori di ciascuno [tex]$\mathbb{Z}_2$[/tex].
tu dici che ciascuno dei 6 automorfismi di [tex]$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$[/tex] con l'identità altrove va bene, mentre se io prendo quello che manda
[tex]$a \mapsto b$[/tex] e [tex]$b \mapsto a$[/tex] e fissa il resto non va bene perché dove andrebbe [tex]$ac$[/tex] ?
dovrebbe stare fisso, ma [tex]$ a \mapsto b$[/tex] quindi non è un morfismo.
riprova!
considera:
[tex]$G=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$[/tex]
diciamo che [tex]$G = \left\{e,a,b,c,ab,ac,bc,abc \right\}$[/tex]
dove [tex]$a,b,c$[/tex] sono i generatori di ciascuno [tex]$\mathbb{Z}_2$[/tex].
tu dici che ciascuno dei 6 automorfismi di [tex]$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$[/tex] con l'identità altrove va bene, mentre se io prendo quello che manda
[tex]$a \mapsto b$[/tex] e [tex]$b \mapsto a$[/tex] e fissa il resto non va bene perché dove andrebbe [tex]$ac$[/tex] ?
dovrebbe stare fisso, ma [tex]$ a \mapsto b$[/tex] quindi non è un morfismo.
riprova!
Intanto ti ringrazio per la risposta, hai colto nel segno il problema, infatti il caso interessante é il terzo! Ho riprovato come da te suggerito e sono arrivato al seguente risultato, non so se giusto o errato.
Il gruppo considerato nel terzo caso é del tipo $Z_2xxZ_2xxZ_2xxZ_2........xxZ_2$.
Il gruppo $Z_2xxZ_2$ é indubbio che per la sua simmetria possiede $6$ automorfismi, quindi ha più di un automorfismo diverso dall'identico.
Esso risulta essere necessariamente fatto nel modo seguente: $Z_2xxZ_2=(e,a,b,ab=c)$, cioé ogni elemento $!=e$, risulta essere il composto degli altri due rimanenti, in pratica posso scrivere pure$Z_2xxZ_2=(e,c,b,bc=a)=(e,a,c,ac=b)$.
Adesso se considero ad esempio il gruppo $Z_2xxZ_2xxZ_2$, posso vederlo come ampliamento successivo di $Z_2xxZ_2$,
cioé sia $t$ un elemento non appartenente a$Z_2xxZ_2=(e,a,b,ab=c)$, avrò il gruppo $Z_2xxZ_2xxZ_2=(e,a,b,ab=c,t,ta,tb,tc)$, pertanto se considero un qualsiasi automorfismo diverso dall'identico di $Z_2xxZ_2$ , lasciando fissato l'elemento $t$ appartenente a $Z_2xxZ_2xxZ_2$ otterrò un automorfismo non identico di $Z_2xxZ_2xxZ_2$. Questo procedimento di ampliamento successivo credo
possa essere reiterato, pertanto si può affermare che un gruppo del tipo $Z_2xxZ_2xx.....Z_2$, possiede sicuramente un automorfismo diverso dall'identico, e da qui la tesi.
Resto in attesa di risposta,Grazie!
Il gruppo considerato nel terzo caso é del tipo $Z_2xxZ_2xxZ_2xxZ_2........xxZ_2$.
Il gruppo $Z_2xxZ_2$ é indubbio che per la sua simmetria possiede $6$ automorfismi, quindi ha più di un automorfismo diverso dall'identico.
Esso risulta essere necessariamente fatto nel modo seguente: $Z_2xxZ_2=(e,a,b,ab=c)$, cioé ogni elemento $!=e$, risulta essere il composto degli altri due rimanenti, in pratica posso scrivere pure$Z_2xxZ_2=(e,c,b,bc=a)=(e,a,c,ac=b)$.
Adesso se considero ad esempio il gruppo $Z_2xxZ_2xxZ_2$, posso vederlo come ampliamento successivo di $Z_2xxZ_2$,
cioé sia $t$ un elemento non appartenente a$Z_2xxZ_2=(e,a,b,ab=c)$, avrò il gruppo $Z_2xxZ_2xxZ_2=(e,a,b,ab=c,t,ta,tb,tc)$, pertanto se considero un qualsiasi automorfismo diverso dall'identico di $Z_2xxZ_2$ , lasciando fissato l'elemento $t$ appartenente a $Z_2xxZ_2xxZ_2$ otterrò un automorfismo non identico di $Z_2xxZ_2xxZ_2$. Questo procedimento di ampliamento successivo credo
possa essere reiterato, pertanto si può affermare che un gruppo del tipo $Z_2xxZ_2xx.....Z_2$, possiede sicuramente un automorfismo diverso dall'identico, e da qui la tesi.
Resto in attesa di risposta,Grazie!
Resto in attesa di risposta,Grazie.
mi pare proprio che tu abbia capito, e penso che l'esercizio sia risolto.
però diffido sempre un pochino dalle spiegazione in cui compaiono molte parole e pochi fatti concreti.
una soluzione più pulita secondo me potrebbe essere:
un gruppo [tex]$G$[/tex] finito, con più di due elementi, in cui ogni elemento coincide con il suo inverso è tale che [tex]$G = \mathbb{Z}_2 \times \dots \times\mathbb{Z}_2$[/tex] co [tex]$n \geq 2$[/tex] termini.
perciò [tex]$G$[/tex] ha una naturale struttura di spazio vettoriale di dimensione [tex]$n$[/tex] sul campo [tex]$\mathbb{Z}_2$[/tex], e quindi esiste il morfismo che scambia le coordinate, diciamo dei primi due termini, e lascia fisse le altre. Questo è un morfismo di gruppi additivi.
Questo è il motivo "vero" secondo me.
Se poi vogliamo usare soltanto la teoria dei gruppi, allora basta cancellare le parole "spazio vettoriale" e "campo", e funziona tutto uguale.
però diffido sempre un pochino dalle spiegazione in cui compaiono molte parole e pochi fatti concreti.
una soluzione più pulita secondo me potrebbe essere:
un gruppo [tex]$G$[/tex] finito, con più di due elementi, in cui ogni elemento coincide con il suo inverso è tale che [tex]$G = \mathbb{Z}_2 \times \dots \times\mathbb{Z}_2$[/tex] co [tex]$n \geq 2$[/tex] termini.
perciò [tex]$G$[/tex] ha una naturale struttura di spazio vettoriale di dimensione [tex]$n$[/tex] sul campo [tex]$\mathbb{Z}_2$[/tex], e quindi esiste il morfismo che scambia le coordinate, diciamo dei primi due termini, e lascia fisse le altre. Questo è un morfismo di gruppi additivi.
Questo è il motivo "vero" secondo me.
Se poi vogliamo usare soltanto la teoria dei gruppi, allora basta cancellare le parole "spazio vettoriale" e "campo", e funziona tutto uguale.
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