Moltiplicazione Campo di Galois
ciao a tutti...ho un problema con i campi di galois. Quando faccio la moltiplicazione, poi devo ridurre per il polinomio dato..Come si effettua la riduzione per il polinomio?ho problemi sopratutto quando i coefficienti sono maggiori di uno!!
Esempio: dato il polinomio $f(t)=t^2+t+2$ di $Z_3[t]$, costruire il campo di galois GF(9). Mi calcolo $(0,0),(1,0)$ ecc.. Quando vado ad elevare al quadrato $(2,2)$, per esempio, dovrebbe uscire $(1,2)$, invece a me viene tutt'altra cosa!
Esempio: dato il polinomio $f(t)=t^2+t+2$ di $Z_3[t]$, costruire il campo di galois GF(9). Mi calcolo $(0,0),(1,0)$ ecc.. Quando vado ad elevare al quadrato $(2,2)$, per esempio, dovrebbe uscire $(1,2)$, invece a me viene tutt'altra cosa!
Risposte
[tex]X^2+X+2[/tex] è irriducibile perché non ha radici. Inoltre l'estensione con una delle sue radici è il campo di spezzamento del polinomio.
Ora immagino che con [tex](2,2)[/tex] tu intenda l'elemento del quoziente [tex]2X + 2 + (X^2+X+2) \in \mathbb{Z}_3[X]/(X^2+X+2)[/tex]. Elevando al quadrato hai: [tex](2X+2)^2 + (X^2+X+2) = 4X^2 + 8X + 4 + (X^2+X+2)=[/tex]
[tex]= X^2 + 2X + 1 + (X^2+X+2) = X^2 + X + 2 + (X + 2) + (X^2 + X + 2) =[/tex]
[tex]= X + 2 + (X^2+X+2)[/tex] che con la tua notazione è proprio [tex](1,2)[/tex]. Non ho fatto la divisione in modo standard perché qui quoziente e resto si vedevano ad occhio
. In generale, però, basta fare la divisione con il metodo classico!
Ora immagino che con [tex](2,2)[/tex] tu intenda l'elemento del quoziente [tex]2X + 2 + (X^2+X+2) \in \mathbb{Z}_3[X]/(X^2+X+2)[/tex]. Elevando al quadrato hai: [tex](2X+2)^2 + (X^2+X+2) = 4X^2 + 8X + 4 + (X^2+X+2)=[/tex]
[tex]= X^2 + 2X + 1 + (X^2+X+2) = X^2 + X + 2 + (X + 2) + (X^2 + X + 2) =[/tex]
[tex]= X + 2 + (X^2+X+2)[/tex] che con la tua notazione è proprio [tex](1,2)[/tex]. Non ho fatto la divisione in modo standard perché qui quoziente e resto si vedevano ad occhio
. In generale, però, basta fare la divisione con il metodo classico!
"maurer":
[tex]X^2+X+2[/tex] è irriducibile perché non ha radici. Inoltre l'estensione con una delle sue radici è il campo di spezzamento del polinomio.
Ora immagino che con [tex](2,2)[/tex] tu intenda l'elemento del quoziente [tex]2X + 2 + (X^2+X+2) \in \mathbb{Z}_3[X]/(X^2+X+2)[/tex]. Elevando al quadrato hai: [tex](2X+2)^2 + (X^2+X+2) = 4X^2 + 8X + 4 + (X^2+X+2)=[/tex]
[tex]= X^2 + 2X + 1 + (X^2+X+2) = X^2 + X + 2 + (X + 2) + (X^2 + X + 2) =[/tex]
[tex]= X + 2 + (X^2+X+2)[/tex] che con la tua notazione è proprio [tex](1,2)[/tex]. Non ho fatto la divisione in modo standard perché qui quoziente e resto si vedevano ad occhio
il mio problema è proprio il resto..dividendo $ X^2 + 2X + 1$ per $X^2+X+2$, il quoziente è $1$, il termine al quadrato se ne va, e a me rimane $X-1$..
.... e [tex]-1 \equiv 2 \pmod{3}[/tex].
"maurer":
.... e [tex]-1 \equiv 2 \pmod{3}[/tex].
aaaaaah..certo...mi hai risolto un grosso problema..e la soluzione era ovvia(come sempre)!!grazie mille
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