Esercizio su permutazioni e gruppi ciclici

[zipangulu]

Determinare una permutazione $s in S_7$ che genera un sottogruppo ciclico di ordine 20 e calcolare $s^4$.

Mi date qualche dritta su come si svolge questo esercizio?il mio libro riguardo ciò è piuttosto frammentato quindi non so proprio come affrontarlo

[cirasa]

[mod="cirasa"]Sposto in Algebra.[/mod]

[punx]

allora quello che ho capito è che bisogna cerca due numeri il cui minimo comune multiplo è 20...però io ho trovato 5 e 4 però se divido $s in S7$ in cicli così non mi escono disgiunti...non so se possa esserti utile come cosa

[ankia_89]

i numeri non devono essere per forza due ma anche di più e devi trovare una combinazione che ti da come somma 7 e il minimo comune multiplo deve essere 20.

[zipangulu]

i numeri non devono essere per forza due ma anche di più e devi trovare una combinazione che ti da come somma 7 e il minimo comune multiplo deve essere 20.

bè per semplicità se considero una combinazione di due elementi(numeri),con le condizioni da te richieste non ho valori reali,infatti:
${(a+b=7),(ab=20):} $
da cui ho:
$b^2-7b+20=0$ che non ha soluzioni reali
$b=(7+-sqrt(-31))/2$

aiuto

[mistake89]

Devi trovare un elemento di ordine $20$ in $S_7$. Esiste? No!
Pertanto tale sottogruppo ciclico non esiste!

[zipangulu]

da cosa hai dedotto tutto ciò?
scusami ma riesco a seguirti.

[mistake89]

Una permutazione in $S_7$ ha al più periodo $7$ giusto? Quindi preso un qualsiasi elemento del gruppo il gruppo da esso generato avrà al più ordine $7$.

[Studente Anonimo]

"mistake89":Una permutazione in $S_7$ ha al più periodo $7$ giusto?

No, per esempio [tex](12345)(67)[/tex] ha ordine 10. Comunque e' vero che non ce ne sono di ordine 20, bisognerebbe avere almeno nove simboli per avere un 5-ciclo e un 4-ciclo disgiunti.

[zipangulu]

non vorrei contraddirti,anche perchè non sarei in grado,ma:
1)è la traccia di un esercizio d'esame,quindi mi viene difficile pensare che si possa concludere così facilmente.
2)dire che una permutazione genera un gruppo ciclico di ordine $n$ e dire che un elemento del gruppo ha ordine $n$,equivale a dire la stessa cosa?al momento io non sono in grado di rispondere

[mistake89]

"Martino":[quote="mistake89"]Una permutazione in $S_7$ ha al più periodo $7$ giusto?

No, per esempio [tex](12345)(67)[/tex] ha ordine 10. Comunque e' vero che non ce ne sono di ordine 20, bisognerebbe avere almeno nove simboli per avere un 5-ciclo e un 4-ciclo disgiunti.[/quote]

Hai ragione... maledetta fretta

[Studente Anonimo]

2)dire che una permutazione genera un gruppo ciclico di ordine $n$ e dire che un elemento del gruppo ha ordine $n$,equivale a dire la stessa cosa?

Sì, un elemento ha un dato ordine [tex]n[/tex] se e solo se il sottogruppo che genera ha ordine [tex]n[/tex].

"zipangulu":1)è la traccia di un esercizio d'esame,quindi mi viene difficile pensare che si possa concludere così facilmente.

Ti dò un consiglio: non dare per scontato che gli esami siano difficili. Quasi sempre basta una buona idea per banalizzare il quesito. La mia teoria è che un problema non va solo risolto, va banalizzato. Prova a pensare alla struttura ciclica di un elemento di ordine 20. Siccome 5 divide 20, deve comparire un 5-ciclo. Ora restano fuori solo due simboli, con cui non riesci a costruire un elemento di ordine 4. Quindi in [tex]S_7[/tex] non ci sono elementi di ordine 20.

[vict85]

"Martino":

2)dire che una permutazione genera un gruppo ciclico di ordine $n$ e dire che un elemento del gruppo ha ordine $n$,equivale a dire la stessa cosa?

Sì, un elemento ha un dato ordine [tex]n[/tex] se e solo se il sottogruppo che genera ha ordine [tex]n[/tex].
[quote="zipangulu"]1)è la traccia di un esercizio d'esame,quindi mi viene difficile pensare che si possa concludere così facilmente.

Ti dò un consiglio: non dare per scontato che gli esami siano difficili. Quasi sempre basta una buona idea per banalizzare il quesito. La mia teoria è che un problema non va solo risolto, va banalizzato. Prova a pensare alla struttura ciclica di un elemento di ordine 20. Siccome 5 divide 20, deve comparire un 5-ciclo. Ora restano fuori solo due simboli, con cui non riesci a costruire un elemento di ordine 4. Quindi in [tex]S_7[/tex] non ci sono elementi di ordine 20.[/quote]

Ovviamente concordo...

Comunque aggiungerei che anche se ti avesse chiesto la stessa cosa in $S_9$ la cosa sarebbe stata decisamente banale. La permutazione sarebbe stata il prodotto di un 5-ciclo e di un 4-ciclo qualsiasi. La sua potenza alla 4 sarebbe (ovviamente) stata un 5 ciclo. Anzi per ragioni ovvie sarebbe stato semplicemente l'inverso del 5 ciclo scelto.