Sottogruppo normale

[AgentZero1]

come si fa a determinare se un sottogruppo è normale?cioè, il teorema dice $a^-1*h*a in H$, $a in G$(gruppo), $h in H$(sottogruppo). Quindi supponiamo che io ho una permutazione $s in s_8$, e un sottgruppo generato da tale permutazione, ad esempio $H={s^2,s^3,s^4}$.
Per vedere se H è normale devo verificare che $s^-1*s^2*s in H$? Quindi che tale quantità sia uguale ad $s^2,s^3$ o $s^4$?
Oppure $s^-1*s^2*s = s^2$(e così via anche per $s^3, s^4)$?

[mistake89]

Potresti costruire un opportuno omomorfismo il cui nucleo sia proprio $H$, avresti così gratis la normalità.

Ovviamente $H$ deve essere un sottogruppo, quindi contenere l'unità, ed essere chiuso.

[AgentZero1]

"mistake89":Potresti costruire un opportuno omomorfismo il cui nucleo sia proprio $H$, avresti così gratis la normalità.

Ovviamente $H$ deve essere un sottogruppo, quindi contenere l'unità, ed essere chiuso.

l'esercizio è il seguente: si consideri in $S_8$ la permutazione $a=(135)(67)$. Provare che il sottogruppo $H

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[mistake89]

Ed è sbagliato. Devi considerare il gruppo generato da $a$ che sicuramente conterrà l'unità.
Che periodo ha $a$? Osserva che è già scomposto in cicli disgiunti quindi il suo periodo sarà il mcm del periodo dei singolo cicli.

Poi provare che non è normale è molto più semplice sapendolo. Prendi una permutazione, coniugala e fai vedere che vai a finire fuori da $H$. Ne basta una!

[ankia_89]

l'ordine di H è 6 quindi deve per forza contenere 6 elementi che sono potenze di a quindi H={a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6=identità}
Prendi un elemento di H e calcola il suo coniugato con un altro elemento di H e fai vedere che quello che ti viene fuori non appartiene ad H

[mistake89]

Nono attenzione. Se prendi un elemento di $H$ e lo coniughi, non solo ti vien fuori un elemento di $H$, ma ti vien fuori proprio lo stesso, in quanto $H$ è ciclico.

Ogni gruppo è stabile per la "sua" coniugio. Bisogna far vedere che è stabile per la coniugazione degli elementi fuori da esso!

[AgentZero1]

"mistake89":Nono attenzione. Se prendi un elemento di $H$ e lo coniughi, non solo ti vien fuori un elemento di $H$, ma ti vien fuori proprio lo stesso, in quanto $H$ è ciclico.

Ogni gruppo è stabile per la "sua" coniugio. Bisogna far vedere che è stabile per la coniugazione degli elementi fuori da esso!

quindi in definitiva, per far vedere che H non è normale, prendo un elemento $h$ del sottogruppo, mi calcolo $s^-1*h*s$, e se questo non è uguale ad h allora non è normale?

[mistake89]

No, è ancora errato. La definizione di normale è $gH=Hg$ che non vuol dire che $gh=hg$, ma semplicemente che esista un elemento $h' in H$ tale che $g=h'g$, ovvero $g h g^(-1)=h'$.

Prendi un elemento di $S_8$ coniugalo con un elemento di $H$ se vien fuori una potenza di $h$ va ancora bene. Tu per mostrare che non è normale devi finire fuori da $H$.

[AgentZero1]

"mistake89":No, è ancora errato. La definizione di normale è $gH=Hg$ che non vuol dire che $gh=hg$, ma semplicemente che esista un elemento $h' in H$ tale che $g=h'g$, ovvero $g h g^(-1)=h'$.

Prendi un elemento di $S_8$ coniugalo con un elemento di $H$ se vien fuori una potenza di $h$ va ancora bene. Tu per mostrare che non è normale devi finire fuori da $H$.

ok quindi h' non deve appartenere ad H..

altro quesito:

Nel gruppo $S_4$ determinare, se esiste, una permutazione t tale che $t*(123)*t^-1 = (124)$.
Come si procede?a tentativi mi sembra un pò macchinoso..

[AgentZero1]

ok l'ultimo quesito l'ho risolto..

ma ho un dubbio su quello precedente..la permutazione $s$ genera $s^2, s^3, s^4$. Quest'ultima è uguale ad $s^2$. Il sottogruppo generato da $s$ qual'è dunque?parte da $s$ e finisce in $s^4$?
altra domanda: l'ordine di una permutazione, ad esempio quella dell'esercizio, qual'è?in generale l'ordine coincide col periodo???

[mistake89]

La permutazione $s$ genera un gruppo che è dato dalle potenze $s^i$ con $i in NN$. Fine.
Ovviamente se $s$ ha periodo finito esisterà un $bar i in NN$ tale che $s^(bar i) =1$ quindi andando avanti continuerai a trovare gli stessi elementi. Non capisco perchè tu ti arresti alla potenza $4$. Non potresti calcolare anche $s^5$, $s^6$?
tra l'altro fai un errore molto grave, non consideri mai l'unità che in un gruppo deve necessariamente essereci.

[AgentZero1]

"mistake89":La permutazione $s$ genera un gruppo che è dato dalle potenze $s^i$ con $i in NN$. Fine.
Ovviamente se $s$ ha periodo finito esisterà un $bar i in NN$ tale che $s^(bar i) =1$ quindi andando avanti continuerai a trovare gli stessi elementi. Non capisco perchè tu ti arresti alla potenza $4$. Non potresti calcolare anche $s^5$, $s^6$?
tra l'altro fai un errore molto grave, non consideri mai l'unità che in un gruppo deve necessariamente essereci.

quindi nel sottogruppo devo considerare 6 elementi, visto che 6 è il mcm dei cicli?io mi fermo alla quarta potenza perchè ritrovo $s^2$..
l'unità qual'è?la permutazione di partenza?

[mistake89]

La permutazione identica. $s^4$ deve essere distinta da $s^2$ controlla bene i calcoli.

[AgentZero1]

"mistake89":La permutazione identica. $s^4$ deve essere distinta da $s^2$ controlla bene i calcoli.

no, non è distinta!!ho rifatto i calcoli 50 volte!!vedi un pò tu magari.

[mistake89]

Scusami $a^2=(135)^2=(153)$, mentre $a^4=(135)$

[AgentZero1]

"mistake89":Scusami $a^2=(135)^2=(153)$, mentre $a^4=(135)$

ook..tutto nasceva da un errore nel calcolo..anche i dubbi sui sottogruppi li ho risolti..grazie