Quoziente abeliano in gruppo finito

[paolag1]

Non riesco a risolvere questo problema:
mostrare che se G è un gruppo finito non identico in cui vale l'inverso del teorema di Lagrange, allora G ha un quoziente abeliano non identico.

Potete aiutarmi??

[maurer]

Inverso del teorema di Lagrange = ci sono sottogruppi di qualsiasi ordine che divide [tex]|G|[/tex]. Pertanto c'è un sottogruppo che ha per indice il più piccolo numero primo che divide [tex]|G|[/tex], il quale sottogruppo è certamente abeliano. D'altronde il quoziente avrà ordine un numero primo e quindi sarà sicuramente ciclico e, in particolare, abeliano.

[paolag1]

Se |G|=p_1p_2...p_n con p_i primo per ogni i e |H| è il minore dei p_i, perché l'ordine di G/H è un numero primo? Non dovrebbe, invece, H avere come ordine il prodotto di tutti i p_i tranne uno, in modo tale che G/H avrebbe come ordine proprio il numero primo restante, risultando quindi ciclico e, pertanto, abeliano?

[paolag1]

Scusami, tu parlavi di indice, non di ordine. Avevo letto male, adesso mi trovo!Grazie!

[paolag1]

Avevo pensato anche a quest'altra soluzione: sia H un sottogruppo di G con |H|=n. Considero il nocciolo H_G, sicuramente normale in G. Se |G/H_G|=m ( che divide n!) è un numero primo, il problema è risolto, se non lo è , detto p un numero primo che divide m, per il primo teorema di Sylow, G/H_G possiede sicuramente un sottogruppo K/H_G ( quoziente di G) di ordine primo p.

Credi sia corretta come soluzione?

[paolag1]

No, non lo è. Ho scritto una sciocchezza. K/H_G è quoziente di K, non di G!