Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Dato un gruppo qualunque, per verificare che vale la proprietà associativa usando la tabella di Cayley (cioè quella di moltiplicazione) bisogna fare i conti per tutti gli elementi è c'è un modo più facile??
Non ho capito la dimostrazione del teorema di Cantor -Bernstein che afferma che dati due insiemi A e B se esiste una funzione iniettiva da A a B e un'altra funzione iniettiva da B ad A allora A e B hanno la stessa cardinalità. Mi potreste dare una dimostrazione semplice e diretta del teorema?Grazie in anticipo.
Sto provando a risolvere il seguente sistema di congruenze algebriche:
$\{(14x -= 10_(mod12)),(3x -= 2_(mod5)):}$
e dovrei calcolare l'inverso moltiplicativo di $14_mod12$ e di $3_mod5$, solo che per la prima non so come fare in quanto $(14,12)$ non sono coprimi e $12$ non e' primo. Vorrei "dividere" la prima equazione per $2$, solo che ho il dubbio che l'equazione risultante non sia equivalente all'originale...
Buon pomeriggio a tutti!
Come si fa a far vedere che due ideali sono uguali, o meglio nel mio caso che $<f,g> = <g,f-gq>$ sapendo che $f=qg+r$?
io ho provato a ragionare così ma c'è qualcosa che non torna:
$<g,f-gq> = <f-gq,g>$; adesso dovrei dimostrare che $<f,g> = <f-gq,g>$ ma sapendo che $q$ e $g$ sono entrambi diversi da $0$ come posso farlo? Potrei concludere dicendo che $f-gq$ è una combinazione lineare di $f$ per ...
Salve,
scrivo in merito a questo esercizio che mi ha causato più di un dubbio.
Allora:
Sia $A$ un anello commutativo unitario ed $I$ un suo ideale. Nell'anello $A[x]$ si considerino i seguenti sottoinsiemi:
$J_1$ $={f(x) in A[x] | f(i) in I AA i in I}$
$J_2$ $={f(x) in A[x] | f(0)^2 in I}$
$J_3$ $={f(x) in A[x] | f'(0) in I}$
$J_4$ $={f(x) in A[x] | tutti i coefficienti stanno in I}$
a) Dire quali tra essi sono sottoanelli/ideali di $A[x]$
Risolvendo il primo ...
Ciao a tutti! Devo verificare un paio di isomorfismi e spero che mi sarete d'aiuto:
1) è vero che il campo di riducibilità completa di $x^3+x^2+x+1$ su $ZZ//3ZZ$ è isomorfo a $GF(27)$?
Ho pensato che, detto F il c.r.c del polinomio su $K=ZZ//3ZZ$, devo verificare che il grado [F] =3, così F risulta isomomorfo a $K^3$ e possiede 27 elementi, ed è pertanto isomomorfo a $GF(27)$. Tuttavia sono bloccata già all'inizio per trovare il c.r.c del ...
Buonasera a tutti!
Mi sono imbattuta in un teorema di geometrica algebrica e computazionale; ho provato a dimostrarlo e volevo chiedervi se questa dimostrazione andava bene oppure ho trascurato qualcosa.
Il teorema è il seguente:
Data una funzione polinomiale $f$ questa è $=0$ se e solo se $f:K^n->K$ è una funzione nulla.
L'ho dimostrato nel modo seguente:
Se $n=1$ e $f(a)=0 $ per ogni $a$ appartenente a ...
Sto usando in questi giorni degli spazi di Hilbert ottenuti per prodotto tensoriale di spazi dati. Mi chiedevo quale fosse l'ambito più generale in cui interviene questo tipo di costruzione.
Ho un esercizio in cui mi si chiede di trovare da [tex]A=\mathbb Q[x]/(x^3-3x^2+2x)[/tex] a [tex]B=\mathbb Q[x]/(2x^3-10x^2+25x+5)[/tex] un isomorfismo d'anelli e un isomorfismo di [tex]\mathbb Q[/tex]-spazi vettoriali.
Come anelli l'isomorfismo non esiste in quanto [tex]B[/tex] è un campo ([tex]2x^3-10x^2+25x+5[/tex] irriducibile per Eisenstein) mentre [tex]A[/tex] non lo è (infatti [tex]x^3-3x^2+2x=x(x-2)(x-1)[/tex]).
Come [tex]\mathbb Q[/tex]-spazi vettoriali invece cosa posso dire? Io ...
ciao devo fare l'esame di algebra 2 e ho iniziato oggi a fare qualche esercizio di teoria dei gruppi e volevo sapere se per ora sto procedendo bene oppure no, e inoltre chiedervi qualche dubbio qua e là.
prendo un esercizio che ho fatto oggi ad esempio.
si consideri il gruppo moltiplicativo $G=U(\mathbb{Z}_{27})$
(a)calcolare esplicitamente i sottogruppi di Sylow di $G$ (su questo primo punto mi sento abbastanza sicuro ma ve lo scrivo perchè non si sa mai...)
notiamo ...
Studiando degli appunti sui triangoli di Pascal mi è capitata la seguente affermazione:
Dato $k$ non primo, sia $p$ primo divisore di $k$ tale che $k=m p^{a}$ con $m$ non divisibile per $p$
Allora si ha che $((k),(p))=frac{m p^{a} (m p^{a}-1)...(m p^{a}-p+1)}{1*2*...*p}$ non è divisibile per $p^{alpha}$ e quindi neanche per $k$.
Questa cosa mi lascia perplesso, infatti il binomiale sarebbe divisibile per $p^{alpha}$ e anche per ...
Ciao a tutti, rieccomi con un nuovo problema.
Si consideri il gruppo $ G = F_2 xx F_2 $ dove $F_2$ indica il gruppo di ordine 2, (in notazione moltiplicativa), e l'algebra gruppo $C[G]$ sui complessi.
Decomporre $C[G]$, in quando modulo su se stesso, nella somma diretta di moduli semplici di dimensione 1.
Ho fatto esercizi simili, ma non riesco ad applicare le stesse strategie. In particolare quello che "so fare" (sperando di averlo fatto bene) è:
- ...
Siano $m$, $n$ numeri interi positivi che soddisfano la condizione $m^2-2n^2=\pm 1$.
Dimostrare che non esistono numeri interi (positivi o negativi) $a$, $b$ tali che,
$\{(a^2-2b^2=\pm 1),(n<a*n+b*m<n+m):}$
Ho provato a dimostrarlo, però non ci riesco.
Io vorrei provare per assurdo che $a>0$
Se fosse $a<=0$, allora certamente sarebbe $b>0$, ovvero $b>=1$, inoltre dalle disuguaglianze ...
Ciao
un dubbio sulla trasformazione in forma normale di SKOLEM. Se ho la seguente formula $forallxexistsyA(x,y) -> existsxforallyB(x,y)$
qual è il procedimento corretto? il primo o il secondo?
formula di partenza $forallxexistsyA(x,y) -> existsxforallyB(x,y)$
1) in questa sequenza prima si trasforma in forma congiunta e poi si estraggono i quantificatori
$ not(forallxexistsyA(x,y) )V existsxforallyB(x,y)$
$(existsxforallynotA(x,y) V existsxforallyB(x,y)$
$existsx(forallynotA(x,y) V forallyB(x,y))$
$existsx(forallynotA(x,y) V forallyB(x,y))$
$existsxforalltforally (notA(x,t) V B(x,y))$
2) in questa sequenza prima si portano in testa i quantificatori e poi si trasforma in ...
l'esercizio è:
l'insieme A=(a,b) $ del $ (c,d) se |ad|=|bc|. si dimostri che $ del $ è una relazione di equivalenza e si provi che l'insieme quoziente A/ $ del $ è infinito. si determini inoltre una funzione f: A $ rarr $ $ QQ $
tale che la relazione $<br />
coincida con <br />
l'equivalenza indotta da f.<br />
<br />
dimostrare che è una relazione di equivalenza l'ho fatto...ma non riesco a fare gli altri due<br />
<br />
un altro esercizio è:<br />
si provi che f: $ QQ rarr QQ $ definita f(x)=2x+|x|+ 1 per ogni x appartentente a $ QQ $ è biettiva e se ne determini l'inversa
Mi potete dimostare questo?
Sia $F$ un campo, e $f(x) ,g(x)\in F[x]$, entrambi non nulli. Allora esiste un unico massimo comun divisore $d(x)$ di $f(x)$e $g(x)$. Inoltre esistono
polinomi $u(x)$ e $v(x)$ tali che: $d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)$.
GRazie
se voglio dimostrare che A è incluso in B , posso dimostrare equivalentemente che se x non appartiene a B allora non appartiene ad A?
Sia K un campo e sia $\sigma$ : K ->K un endomorfismo, diciamo $\sigma$ ≠ id. Si consideri l'anello dei polinomi R nella variabile x. Si definisca su R una nuova moltiplicazione ponendo
$\sum_{i} a_i x^i$ * $\sum_{j} b_j x^j$ = $\sum_{i,j} a_i \sigma^i (b_j) x^(i+j)$
In altri termini, la moltiplicazione è definita dall'identità di commutazione (della variabile con gli scalari) x a = $\sigma$(a) x, per ogni a $in$ K.
a. Dimostrare che (R,+,*) è un anello unitario ...
Secondo il mio testo, questo teorema afferma che "se p è un primo e G è un gruppo finito il cui ordine è divisibile per $ p{::}^(a) $ , dove $ a geq 0 $ , allora G contiene almeno un sottogruppo di ordine $ p{::}^(a) $". Su altri testi invece a è strettamente maggiore di zero. Cosa ne pensate?? Qualcuno ha qualche idea in merito? Grazie
Buonasera ragazzi.
Dopo aver verificato con successo che gli esercizi sulle strutture algebriche di cui avevo proposto la mia risoluzione erano corretti, vorrei chiedere una mano a proposito di alcune richieste di un esercizio in cui mi sono imbattuto questa sera, ve lo propongo:
E' dato l'insieme G = { id4 , ( 1 4 ) ( 2 3 ) , ( 1 2 ) ( 3 4 ) , ( 1 3 ) ( 2 4 ) }
a) dimostrare che G è un sottogruppo di S4
b) scrivere la tabella della moltiplicazione del gruppo G
c) stabilire se G è ...
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