Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Siano $m$, $n$ numeri interi positivi che soddisfano la condizione $m^2-2n^2=\pm 1$. Dimostrare che non esistono numeri interi (positivi o negativi) $a$, $b$ tali che, $\{(a^2-2b^2=\pm 1),(n<a*n+b*m<n+m):}$ Ho provato a dimostrarlo, però non ci riesco. Io vorrei provare per assurdo che $a>0$ Se fosse $a<=0$, allora certamente sarebbe $b>0$, ovvero $b>=1$, inoltre dalle disuguaglianze ...

Ciao un dubbio sulla trasformazione in forma normale di SKOLEM. Se ho la seguente formula $forallxexistsyA(x,y) -> existsxforallyB(x,y)$ qual è il procedimento corretto? il primo o il secondo? formula di partenza $forallxexistsyA(x,y) -> existsxforallyB(x,y)$ 1) in questa sequenza prima si trasforma in forma congiunta e poi si estraggono i quantificatori $ not(forallxexistsyA(x,y) )V existsxforallyB(x,y)$ $(existsxforallynotA(x,y) V existsxforallyB(x,y)$ $existsx(forallynotA(x,y) V forallyB(x,y))$ $existsx(forallynotA(x,y) V forallyB(x,y))$ $existsxforalltforally (notA(x,t) V B(x,y))$ 2) in questa sequenza prima si portano in testa i quantificatori e poi si trasforma in ...

l'esercizio è: l'insieme A=(a,b) $ del $ (c,d) se |ad|=|bc|. si dimostri che $ del $ è una relazione di equivalenza e si provi che l'insieme quoziente A/ $ del $ è infinito. si determini inoltre una funzione f: A $ rarr $ $ QQ $ tale che la relazione $<br /> coincida con <br /> l'equivalenza indotta da f.<br /> <br /> dimostrare che è una relazione di equivalenza l'ho fatto...ma non riesco a fare gli altri due<br /> <br /> un altro esercizio è:<br /> si provi che f: $ QQ rarr QQ $ definita f(x)=2x+|x|+ 1 per ogni x appartentente a $ QQ $ è biettiva e se ne determini l'inversa

Mi potete dimostare questo? Sia $F$ un campo, e $f(x) ,g(x)\in F[x]$, entrambi non nulli. Allora esiste un unico massimo comun divisore $d(x)$ di $f(x)$e $g(x)$. Inoltre esistono polinomi $u(x)$ e $v(x)$ tali che: $d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)$. GRazie

se voglio dimostrare che A è incluso in B , posso dimostrare equivalentemente che se x non appartiene a B allora non appartiene ad A?

Sia K un campo e sia $\sigma$ : K ->K un endomorfismo, diciamo $\sigma$ ≠ id. Si consideri l'anello dei polinomi R nella variabile x. Si definisca su R una nuova moltiplicazione ponendo $\sum_{i} a_i x^i$ * $\sum_{j} b_j x^j$ = $\sum_{i,j} a_i \sigma^i (b_j) x^(i+j)$ In altri termini, la moltiplicazione è definita dall'identità di commutazione (della variabile con gli scalari) x a = $\sigma$(a) x, per ogni a $in$ K. a. Dimostrare che (R,+,*) è un anello unitario ...

Secondo il mio testo, questo teorema afferma che "se p è un primo e G è un gruppo finito il cui ordine è divisibile per $ p{::}^(a) $ , dove $ a geq 0 $ , allora G contiene almeno un sottogruppo di ordine $ p{::}^(a) $". Su altri testi invece a è strettamente maggiore di zero. Cosa ne pensate?? Qualcuno ha qualche idea in merito? Grazie

Buonasera ragazzi. Dopo aver verificato con successo che gli esercizi sulle strutture algebriche di cui avevo proposto la mia risoluzione erano corretti, vorrei chiedere una mano a proposito di alcune richieste di un esercizio in cui mi sono imbattuto questa sera, ve lo propongo: E' dato l'insieme G = { id4 , ( 1 4 ) ( 2 3 ) , ( 1 2 ) ( 3 4 ) , ( 1 3 ) ( 2 4 ) } a) dimostrare che G è un sottogruppo di S4 b) scrivere la tabella della moltiplicazione del gruppo G c) stabilire se G è ...

Salve ragazzi, ho un problema con la comprensione degli elementi invertibili in un anello. Esempio Sia $Q_70 = {a/b | b=70^t, t in N}$ Devo determinare gli elementi ivertibili, se fossimo in $Z_70$ direi che sono gli elementi coprimi con $70$ che sono utilizzando Eulero $24$. Ma in questo anello, un'eventuale inverso dovrebbe contenere sempre un multiplo di $70$ e non un numero coprimo con $70$. Cioè se $a/b$ è un ...

Consideriamo un gruppo $G$ e sia $Z=Z(G)$ il suo centro. E' noto che il quoziente $G/Z$ non può essere ciclico a meno che il gruppo non sia abeliano e in tal caso $G/Z$ sarà banale. Di questo fatto io sono riuscito a dare una dimostrazione elementare che apparentemente non fa uso di nessun risultato di teoria dei gruppi. La inserisco in spoiler: Supponiamo per assurdo $G/Z = < gZ >$ ciclico non banale. Fissiamo $a \notin Z$ e sia ...

Il mio ormai amico Herstein propone il seguente esercizio: Date le permutazioni $x = (12)(34)$ e $y=(56)(13)$ Trovare una permuazione $a$ tale che $a^-1xa = y$ Bene, dopo vari tentativi sono riuscito a trovare un modo per costruire passo passo, indice dopo indice, la permutazione $a$. Trattasi di $a = (253)(546)$ Infatti $(564)(235)(12)(34)(253)(546) = (13)(56) = (56)(13)$ Il mio dubbio è questo: Nonostante non mi sia dato ancora sapere che due permutazioni sono ...

Ciao, ho dei dubbi riguardo un esercizio di aritmetica modulare che sto cercando di svolgere. Come da titolo si deve dedurre un criterio di divisibilità per 8 Riordinando un pò le idee, ripropongo il ragionamento che ho seguito. Si dovrebbe procedere sfruttando il sistema di numerazione decimale-posizionale per cui dato un generico numero $k = X_1X_2X_3...X_s$ con $X_i$ cifre alla base del sistema decimale (da 0-9), è possibile scrivere il numero come $k = [ X_1*10^(s-1) + X_2 * 10^(s-2) + ... + X_(s-1)*10 + X_s ]$ Partendo ...

Ciao, ho un esempio della costruzione di un campo di galois GF(4) 1) Scelgo un polinomio primitivo di grado 2 $g(X)= 1+X+X^2$ e 2) indico con $alpha$ una sua radice $g(alpha)=0$ Ora l'esempio mi dice che il campo che cerco è: $GF(4) = {0, 1, alpha, (1+alpha)}$ Forse mi sfugge qualcosa nella costruzione del campo poiché non capisco perché sono riportati nel $GF(4)$ anche $alpha$ e $1+alpha$ (mi è noto che $g(alpha)=g(alpha+1)=0$) La teoria che ho io mi dice ...

1) Siano [tex]K[/tex], [tex]F[/tex] campi e [tex]f:K\to F[/tex] omomorfismo. Che relazione c'è tra le caratteristiche dei due campi? Io qui ho pensato di utilizzare il fatto che un omomorfismo di campi è sempre iniettivo. Così [tex]f(n)=0[/tex] \Rightleftarrow [tex]n=0[/tex]. Così: [tex]f(n)=f(n1_K)=n1_F[/tex] così i due hanno la stessa caratteristica. È corretto? 2) Dimostrare che [tex]K[x,y][/tex] non è isomofo a [tex]K[x]\times K[y][/tex]. Credo che tutto si giochi sui termini "misti" ...

ciao! in un vecchio compito d'esame il mio prof ha dato il seguente esercizio, io ho provato a svolgerlo ma vorrei una conferma! Sia M un monoide in cui ogni elemento è invertibile a destra. Si dimostri che M è un gruppo. io ho pensato: $ M={ a, b, c, ... , m ... } $ e $ m * n = 1 $ quindi $ m = 1*m = m * n * m $ e perchè l'uguaglianza sia vera deve necessariamente essere $ m= m*1 $ cioè $ n * m = 1 $ che dimostra che ogni elemento di M è invertibile e quindi M è un ...

Ciao, mi aiutate a dimostrare che delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva soltanto la riflessiva si conserva quando si vanno a comporre 2 relazioni? Per la riflessiva direi: Sia [tex]a \alpha a[/tex] e [tex]a \beta a \rightarrow a \alpha \beta a[/tex], questo perché componendo le 2 relazioni [tex]a \alpha a \rightarrow a[/tex], e [tex]a \beta a \rightarrow a[/tex]. Simmetrica: Deve valere [tex]a \alpha \beta b \rightarrow b \alpha \beta a[/tex], ma mentre l'applicazione ...

Ciao a tutti! Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo esercizio? Frequento la facoltà di economia e commercio, il nostro corso di matematica generale non è molto approfondito e complesso.. Quindi la soluzione di questo esercizio (era in un compito) è più semplice di quanto si può pensare..! Solo che io non riesco proprio a capire. Sia $ f: ZZ+ rarr RR + $ e $ f(x)=3x-1 $ Dimostrare che $ f $ è iniettiva. Dimostrare che $ f $ non è surgettiva. Si ...

Ciao, ho un paio di quesiti da porvi. Ho il gruppo $ G=( ( 1 , 0 ),( a , b ) ) $ con $ b != 0 $ e $ a,b in RR $ e un suo sottogruppo normale $ N=( ( 1 , 0 ), ( a , 1 ) ) $ con $ a in RR $ 1) devo dimostrare che N è isomorfo al gruppo additivo $ RR $ 2) devo dimostrare che G/N è isomorfo al gruppo moltiplicativo $ RR $ \ 0 dei numeri reali non nulli. Grazie in anticipo!!! Lara

Ciao, ho un problema con un esercizio sugli ideali principali. Vi riposrto il testo. $ ZZ [ i]= {a + bi in CC : a,b in ZZ } $ $ I={ a+bi : a , b sono pari } $ è un ideale di $ ZZ [ i] $ Si dimostri che I è un ideale principale. Io ho dimostrato che è un ideale, ma non saprei come fare per dire che è principale, ciò è dovuto anche al fatto che non mi è affatto chiara la definizione di ideale principale. Grazie!! Lara

Ho trovato questo teorema: I numeri algebrici costituiscono un sottocampo di [tex]\mathbb C[/tex] algebricamente chiuso. Non sono in possesso di una dimostrazione quindi ho cercato di venirci a capo da solo ma mi sono bloccato fin dalla dimostrazione che è un campo. Ho fatto così: Se [tex]Q[/tex] è l'insieme dei numeri algebrici, allora [tex]\mathbb Q\subset Q\subset\mathbb C[/tex]. Per mostrare che [tex]Q[/tex] è un campo dovrei mostrare innanzitutto che dati ...